Recurrente compleja por serie de potencias

Enunciado
$(a)$ Los términos de una sucesión $(a_n)$ de números complejos satisfacen la relación de recurrencia de segundo orden  $4a_{n+2}+4a_{n+1}+a_n=0$. Encontrar una acotación de la forma $|a_n|\leq MK^n$.

$(b)$ Demostrar que la serie de potencias  $f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n$  tiene su radio de convergencia no nulo.

$(c)$ Resolver la ecuación en diferencias  $4a_{n+2}+4a_{n+1}+a_n=4$  con $a_0=1,a_1=-1$.

Indicación. Multiplicar por  $z^{n+2}$  ambos miembros de la ecuación en diferencias finitas y despejar $f(z)$. Después, desarrollar $f(z)$  en serie de potencias.

(Propuesto en examen, Amp. Calc., ETS de Ing. Industriales, UPM).

Solución
$(a)$ Tenemos $a_{n+2}=-(a_{n+1}+a_n/4)$. En consecuencia: $$\left |{a_{n+2}}\right |=\left |{a_{n+1}+\dfrac{a_n}{4}}\right |\leq \left |{a_{n+1}}\right |+\left |{\dfrac{a_n}{4}}\right |\leq \max \left\{{ \left |{a_{n+1}}\right |,\left |{a_n}\right | }\right\}$$ $$+\dfrac{1}{4}\max \left\{{ \left |{a_{n+1}}\right |,\left |{a_n}\right | }\right\}=\dfrac{5}{4}\max \left\{{ \left |{a_{n+1}}\right |,\left |{a_n}\right | }\right\}.$$ Para $n=0$  las desigualdad se pueden escribir en la forma: $$\left |{a_2}\right |\leq \dfrac{5}{4}\max \left\{{ \left |{a_1}\right |,\left |{a_0}\right |  }\right\}.$$ Para  $n=1$  en la forma: $$\left |{a_3}\right |\leq \dfrac{5}{4}\max \left\{{ \left |{a_2}\right |,\left |{a_1}\right |  }\right\}\leq \dfrac{5}{4}\max \left\{{ \dfrac{5}{4}\max \left\{{ \left |{a_1}\right |,\left |{a_0}\right |  }\right\},\left |{a_0}\right |
}\right\}$$ $$=\left(\dfrac{5}{4}\right)^2\max \left\{{ \left |{a_1}\right |,\left |{a_0}\right | }\right\}.$$ Usando el método de inducción, se llega inmediatamente a la acotación: $$\left |{a_n}\right |\leq \left(\dfrac{5}{4}\right)^{n-1}\max \left\{{\left |{a_1}\right |,\left |{a_0}\right |}\right\}= \left(\dfrac{4}{5}\max \left\{{ \left |{a_1}\right |,\left |{a_0}\right | }\right\}\right)\left(\dfrac{5}{4}\right)^n.$$ En consecuencia tenemos $|a_n|\leq MK^n$  siendo: $$M=\dfrac{4}{5}\max \left\{{  \left |{a_1}\right |,\left |{a_0}\right |   }\right\},\quad K=\dfrac{5}{4}.$$ $(b)$ El radio de convergencia de la serie de potencias  $\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n$  sabemos que viene dado por  $R=1/\limsup \sqrt[n]{\left |{a_n}\right |}$. Por el apartado anterior tenemos $|a_n|\leq MK^n$. Entonces: $$\limsup \sqrt[n]{\left |{a_n}\right |}\leq \limsup \sqrt[n]{MK^n}=K\limsup \sqrt[n]{M}.$$ Por otra parte  $\lim_{n\to\infty}{\sqrt[n]{M}}=\lim_{n\to\infty}{M^{1/n}}=M^0=1$  si  $M\neq 0$. Si  $M=0$  es decir,  $\left |{a_1}\right |=\left |{a_2}\right |=0$  entonces  $\lim_{n\to\infty}{\sqrt[n]{M}}=0$. Todo esto implica que en cualquier caso  $\limsup \sqrt[n]{\left |{a_n}\right |}\leq K$  y por tanto  $R\geq 1/K>0$. Es decir, el radio de convergencia es no nulo.

$(c)$ Multiplicando ambos miembros de la ecuación recurrente por $z^{n+2}$: $$4a_{n+2}z^{n+2}+4a_{n+1}z^{n+2}+a_nz^{n+2}=4z^{n+2}.$$ Tomando sumas: $$4\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_{n+2}z^{n+2}+4z\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_{n+1}z^{n+1}+z^2\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^{n}=4z^2\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}z^{n}.$$ Las series del primer miembro tienen radio de convergencia  $R$  y la del segundo miembro  $1$  (geométrica de razón $z$). La igualdad tiene sentido pues para  $|z|<\min \{1,R\}$. Al ser  $f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n$  y  $f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}z^n=1/(1-z)\;(|z|<1)$  obtenemos: $$4(f(z)-a_0-a_1z)+4z(f(z)-a_0)+z^2f(z)=\dfrac{4z^2}{1-z},$$ igualdad válida para  $|z|<\min \left\{{1,R}\right\}$. Sustituyendo  $a_0=1,a_1=-1$, despejando  $f(z)$ y simplificando obtenemos: $$f(z)=\dfrac{4z^2-4z+4}{(z+2)^2(1-z)}$$ y efectuando la descomposición en fracciones simples: $$f(z)=\dfrac{4/9}{1-z}+\dfrac{-32/9}{z+2}+\dfrac{28/3}{(z+2)^2}.$$ Desarrollemos en serie  $f_1(z)=1/(1-z),\;f_2(z)=1/(z+2)$  y  $f_3(z)=1/(z+2)^2:$ $$f_1(z)=\dfrac{1}{1-z}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}z^n\quad (|z|<1),$$ $$f_2(z)=\dfrac{1}{z+2}=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{1-(-z/2)}=\dfrac{1}{2}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-z/2)^n\quad (|z|<2).$$ Derivando la última igualdad respecto de  $z$: $$-f_3(z)=-\dfrac{1}{(z+2)^2}=\dfrac{1}{2}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}n\left(\dfrac{-z}{2}\right)^{n-1}\cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)$$ $$= \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^nn}{2^{n+1}}z^{n-1}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n+1}(n+1)}{2^{n+2}}z^{n}.$$ Este último desarrollo es válido para  $|z|<2$  pues toda serie de potencias y su serie derivada tienen el mismo radio de convergencia. Además claramente los desarrollos anteriores de  $f_1,f_2$  y $f_3$  son válido para $|z|<\min \{1,R\}$. La expresión de  $f(z)$  para esos valores de  $z$  es por tanto: $$f(z)=\dfrac{4}{9}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}z^n-\dfrac{32}{9}\cdot \dfrac{1}{2}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{2^n}z^n-\dfrac{28}{3}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n+1}(n+1)}{2^{n+2}}z^n.$$ Operando y simplificando obtenemos: $$f(z)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\left[  \dfrac{4}{9}+\dfrac{(-1)^n}{2^n}\left(  \dfrac{7n}{3}+\dfrac{5}{9}  \right)  \right]z^n,$$ con lo cual, la solución de la ecuación en diferencias es: $$a_n=\dfrac{1}{9}\left(4+\dfrac{(-1)^n(21n+5)}{2^n}\right).$$

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