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Parte principal de la serie de Laurent de $1/\sin^2z$ en $\pi < |z| < 2\pi$

RESUMEN. Determinamos todos los coeficientes $c_n$ $(n < 0)$ del desarrollo en serie de Laurent de la función $1/\sin^2z$ en la corona $\pi < |z| < 2\pi$. Enunciado Sea $\displaystyle\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_nz^n$ el desarrollo de Laurent de $f(z)=\dfrac{1}{\sin^2 z}$ … Sigue leyendo

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Serie de Taylor por división en potencias crecientes

RESUMEN. Usamos la división en potencias crecientes para estudiar una serie de Taylor. Enunciado Se considera la función de variable compleja $$f\left(z\right)=\dfrac{z^2}{\left(\sin^2 z\right)\cos z}.$$ (a) Hallar sus singularidades. (b) Demostrar que $z=0$ es singularidad evitable de $f.$ (c) Determinar el … Sigue leyendo

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Serie de Fourier asociada a un sistema ortonormal

RESUMEN. Definimos la serie de Fourier asociada a un vector de un espacio de Hilbert con respecto de un sistema ortonormal, y demostramos que siempre converge. 1. Lema. Sea $\{x_1,x_2,x_3,\ldots\}$ un sistema ortogonal en un espacio de Hilbert $H.$ Entonces, … Sigue leyendo

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Convergencia de una serie según parámetro

Analizamos la convergencia de una serie que depende de un parámetro. Enunciado Analizar la convergencia de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\left|\log\left(\cos\dfrac{1}{n}\right)\right|^p$ según el parámetro $p\in\mathbb{R}$. Solución Dado que $0<1/n<\pi/2$ para todo $n=1,2,\ldots$, se verifica $\cos (1/n)>0$ y por tanto la serie está … Sigue leyendo

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Suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n(n+1)}$

Enunciado Dada la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n(n+1)}.$ Demostrar que es convergente. Hallar su suma. Solución La serie es de términos positivos. Aplicando el criterio de D’Alembert $$L=\lim_{n\to +\infty}\left(\frac{n+1}{2^{n+1}(n+2)}:\frac{2^n(n+1)}{n}\right)=\frac{1}{2}\lim_{n\to +\infty}\frac{n}{n+2}=\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}<1,$$ por tanto la serie es convergente. Consideremos la función $$f:(-1,1)\to \mathbb{R},\quad f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{n}{n+1}}x^n.$$ … Sigue leyendo

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