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Serie de Taylor por división en potencias crecientes

RESUMEN. Usamos la división en potencias crecientes para estudiar una serie de Taylor. Enunciado Se considera la función de variable compleja $$f\left(z\right)=\dfrac{z^2}{\left(\sin^2 z\right)\cos z}.$$ (a) Hallar sus singularidades. (b) Demostrar que $z=0$ es singularidad evitable de $f.$ (c) Determinar el … Sigue leyendo

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Serie de Fourier asociada a un sistema ortonormal

RESUMEN. Definimos la serie de Fourier asociada a un vector de un espacio de Hilbert con respecto de un sistema ortonormal, y demostramos que siempre converge. 1. Lema. Sea $\{x_1,x_2,x_3,\ldots\}$ un sistema ortogonal en un espacio de Hilbert $H.$ Entonces, … Sigue leyendo

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Convergencia de una serie según parámetro

Analizamos la convergencia de una serie que depende de un parámetro. Enunciado Analizar la convergencia de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\left|\log\left(\cos\dfrac{1}{n}\right)\right|^p$ según el parámetro $p\in\mathbb{R}$. Solución Dado que $0<1/n<\pi/2$ para todo $n=1,2,\ldots$, se verifica $\cos (1/n)>0$ y por tanto la serie está … Sigue leyendo

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Suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n(n+1)}$

Enunciado Dada la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n(n+1)}.$ Demostrar que es convergente. Hallar su suma. Solución La serie es de términos positivos. Aplicando el criterio de D’Alembert $$L=\lim_{n\to +\infty}\left(\frac{n+1}{2^{n+1}(n+2)}:\frac{2^n(n+1)}{n}\right)=\frac{1}{2}\lim_{n\to +\infty}\frac{n}{n+2}=\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}<1,$$ por tanto la serie es convergente. Consideremos la función $$f:(-1,1)\to \mathbb{R},\quad f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{n}{n+1}}x^n.$$ … Sigue leyendo

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Ecuación diferencial por serie de potencias

Proporcionamos un ejemplo de resolución de una ecuación diferencial por serie de potencias. Enunciado Se considera la ecuación diferencial $y^{\prime\prime}(x)+y(x)=x.$ Sea $y(x)$ solución de la ecuación que se puede expresar como suma de una serie entera convergente en $\mathbb{R}.$ Determinar … Sigue leyendo

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Suma de una serie a partir de la de Basilea

Hallamos la suma de una serie a partir de la de Basilea $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^2}=\dfrac{\pi^2}{6}.$ Enunciado Se considera la  serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{2n-1}{n^2(n+1)^2}.$ Demostrar que es convergente. Hallar su suma sabiendo que $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^2}=\dfrac{\pi^2}{6}.$ Solución La serie dada es de términos positivos. Además:$$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\left(\dfrac{2n-1}{n^2(n+1)^2}:\frac{1}{n^3}\right)=1.$$ … Sigue leyendo

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Desarrollos en serie de Maclaurin de las funciones habituales

En los siguientes ejercicios, deducimos los desarrollos en serie de Maclaurin de las funciones habituales. Enunciado Demostrar que $$e^x=1+\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^2}{2!}+\cdots +\dfrac{x^n}{n!}+\cdots =\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{x^k}{k!}\quad\left(\forall x\in\mathbb{R}\right).$$ y que si $a>0,$ $$a^x=1+\dfrac{x\log a}{1!}+\dfrac{x^2\left(\log a\right)^2}{2!}+\cdots +\dfrac{x^n\left(\log a\right)^n}{n!}+\cdots =\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{x^k\left(\log a\right)^k}{k!}$$ para todo $x\in\mathbb{R}.$ Demostrar que $$\operatorname{ch}{x}=1+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}+\cdots +\dfrac{x^{2n}}{(2n)!}+\cdots=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{x^{2k}}{(2k)!}\quad\left(\forall … Sigue leyendo

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Serie de Maclaurin

Enunciado Sea $I$ un intervalo abierto centrado en $0$ y $f$ una función definida en $I.$ Si $f$ es igual en $I$ a la suma de una serie entera, demostrar que esta serie es necesariamente $$f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f^{\prime\prime}(0)}{2!}x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}+\cdots.$$ Sea $I$ intervalo abierto … Sigue leyendo

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Serie geométrica

Enunciado Analizar el carácter de las siguientes series y hallar su suma cuando sean convergentes. $1)\;\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\dfrac{1}{5}\right)^n.$ $2)\;\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\left(-\dfrac{1}{5}\right)^n.$ $3)\;\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{3^n}{2^n}.$ $4)\;\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a^2.$ $5)\; 1-2+2^2-2^3+\cdots.$ Demostrar que: $a)$ La serie geométrica $1+x+x^2+x^3+\cdots$ es convergente si, y sólo si $\left|x\right|<1.$ $b)$ Si es convergente, su … Sigue leyendo

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Concepto de serie numérica real

Definimos el concepto de serie numérica real. Enunciado Dada la serie $\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2^2}+\dfrac{5}{2^3}+\dfrac{7}{2^4}+\cdots,$ hallar el término enésimo y escribirla en forma $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_n.$ Dada la serie $\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4^2}+\dfrac{1}{4^3}\cdots,$ hallar el término enésimo, escribirla en forma $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ y hallar la suma parcial enésima $S_n.$ … Sigue leyendo

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