Primeras propiedades de los espacios vectoriales

Proporcionamos ejercicios sobre las primeras propiedades de los espacios vectoriales.

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. Sea $E$ espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb{K}.$ Demostrar que para todo $\lambda\in \mathbb{K}$ y para todo $x\in E:$
    $(a)\; 0x=0.\quad (b)\;\lambda 0=0.\quad (c)\;\lambda x=0\Rightarrow (\lambda=0\text{ ó }x=0). $
  2. Sea $E$ espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb{K}.$ Demostrar que para todo $\lambda,\mu\in \mathbb{K}$ y para todo $x,y\in E:$
    $\begin{aligned}& (a)\; -(\lambda x)=(-\lambda x)=\lambda (-x).\\
    &(b)\;(\lambda x=\mu x\text{ y } x\neq 0)\Rightarrow \lambda=\mu.\\
    & (c)\;(\lambda x=\lambda y\text{ y } \lambda\neq 0)\Rightarrow x=y.
    \end{aligned}$
  3. Demostrar que en todo espacio vectorial $E,$ la propiedad conmutativa de la suma de vectores, se puede deducir a partir de los restantes axiomas.
    Solución
  1. $(a)$ Tenemos $0x=(0+0)x=0x+0x,$ por tanto $0x=0x+(-0x)=0.$
    $(b)$ Tenemos $\lambda 0=\lambda (0+0)=\lambda 0+\lambda 0,$ por tanto $\lambda 0=\lambda 0+(-\lambda 0)=0.$
    $(c)$ Si $\lambda\neq 0,$ existe el inverso $\lambda^{-1}$ en $\mathbb{K}.$ Entonces, $$\lambda x=0\Rightarrow \lambda^{-1}(\lambda x)=\lambda^{-1}0\Rightarrow(\lambda^{-1}\lambda)x=0\Rightarrow 1x=0\Rightarrow x=0.$$
  2. $(a)$ Tenemos $$\begin{aligned}& (-\lambda)x+\lambda x=(-\lambda +\lambda)x=0x=0\Rightarrow -(\lambda x)=(-\lambda)x.\\
    &\lambda (-x)+\lambda x=\lambda (-x+x)=\lambda 0=0\Rightarrow -(\lambda x)=\lambda (-x).
    \end{aligned}$$ $(b)$ Se verifica $\lambda x=\mu x\Rightarrow\lambda x-\mu x=0\Rightarrow (\lambda-\mu)x=0.$ Como $x\neq 0,$ ha de ser $\lambda-\mu=0,$ es decir $\lambda=\mu.$
    $(c)$ Se verifica $\lambda x=\lambda y\Rightarrow \lambda x-\lambda y=0\Rightarrow\lambda (x-y)=0.$ Como $\lambda\neq 0,$ ha de ser $x-y=0,$ es decir $x=y.$
  3. Para todo $x,y\in E$ se verifica: $$\begin{aligned}(1+1)(x+y)&=1(x+y)+1(x+y)\\
    &=x+y+x+y.\qquad (1)
    \end{aligned}$$ $$\begin{aligned}(1+1)(x+y)&=(1+1)x+(1+1)y\\
    &=1x+1x+1y+1y\\
    &=x+x+y+y.\qquad (2)
    \end{aligned}$$ Igualando $(1)$ y $(2),$ queda $x+y+x+y=x+x+y+y.$ Cancelando términos, se obtiene $y+x=x+y.$
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