Primeras propiedades de los espacios vectoriales

Proporcionamos ejercicios sobre las primeras propiedades de los espacios vectoriales.

TEORÍA

1  Sea $E$ espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb{K}.$ Demostrar que para todo $\lambda\in \mathbb{K}$ y para todo $x\in E:$

$(a)\; 0x=0.\quad (b)\;\lambda 0=0.\quad (c)\;\lambda x=0\Rightarrow (\lambda=0\text{ ó }x=0). $

SOLUCIÓN

2  Sea $E$ espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb{K}.$ Demostrar que para todo $\lambda,\mu\in \mathbb{K}$ y para todo $x,y\in E:$

$\begin{aligned}& (a)\; -(\lambda x)=(-\lambda x)=\lambda (-x).\\
&(b)\;(\lambda x=\mu x\text{ y } x\neq 0)\Rightarrow \lambda=\mu.\\
& (c)\;(\lambda x=\lambda y\text{ y } \lambda\neq 0)\Rightarrow x=y.
\end{aligned}$

SOLUCIÓN

3 Demostrar que en todo espacio vectorial $E,$ la propiedad conmutativa de la suma de vectores, se puede deducir a partir de los restantes axiomas.

SOLUCIÓN
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