Primeras propiedades de los valores y vectores propios

Proporcionamos ejercicios sobre las primeras propiedades de los valores y vectores propios.

TEORÍA

1  Sea $E$ espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb{K}$ de  dimensión finita $n$ y $f:E\to E$ un endomorfismo. Demostrar que si $B$ es una base de $E$ formada por vectores propios de $f$, entonces la matriz de $f$ en la base $B$ es diagonal.

SOLUCIÓN

2  Sea $E$ espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb{K}$ y $f:E\to E$ un endomorfismo. Sea $\lambda$ valor propio de $f$. Demostrar que $V_{\lambda}=\{x\in E: f(x)=\lambda x\}$ es subespacio vectorial de $E$.

SOLUCIÓN

3  Sea $E$ espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb{K}$ y $f:E\to E$ un endomorfismo que admite $m$ valores propios distintos $\lambda_1,\ldots,\lambda_m$. Sea $S=\{x_1,\ldots,x_m\}$ en donde para cada $i=1,\ldots,m$, $x_i$ es vector propio asociado a $\lambda_i$. Demostrar que $S$ es un sistema libre.

SOLUCIÓN
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