Mínima distancia de un vector a un subespacio

Proporcionamos ejercicios sobre el concepto de mínima distancia de un vector a un subespacio.

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. En $\mathbb{R}^3$ con el producto escalar $$\left<(x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3)\right>=x_1y_1+2x_2y_2+3x_3y_3,$$ hallar la distancia del vector $x=(1,1,1)$ al subespacio $F\equiv x_1+x_2+2x_3=0.$
  2. Sea $E$ espacio euclídeo. Demostrar las propiedades de la distancia:
    $1)\;$ $d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y.$
    $2)\;$ $d(x,y)=d(y,x)$ para todo $x,y\in E.$
    $3)\;$ $d(x,y)\leq d(x,z)+x(z,y)$ para todo $x,y,z\in E.$
  3. Sea $E$ espacio euclídeo de dimension finita y $F$ subespacio de $E.$ Entonces, para todo $x\in E$ se verifica $d\left(x,p_F(x)\right)\leq d(x,y)\;\;\forall y\in F.$
    Solución
  1. Aquí (apartado 2) habíamos hallado la proyección ortogonal de $x$ sobre $F,$ obteniéndose $p_F(x)=\dfrac{1}{17}(-7,5,1).$ En consecuencia, $$d(x,F)=d\left(x,p_F(x)\right)=\left\|(1,1,1)-\dfrac{1}{17}(-7,5,1)\right\|$$ $$=\left\|\dfrac{1}{17}(24,12,16)\right\|=\dfrac{1}{17}\left\|(24,12,16)\right\|$$ $$=\dfrac{1}{17}\sqrt{24^2+2\cdot12^2+3\cdot 16^2}=\dfrac{\sqrt{1632}}{17}=\dfrac{4\sqrt{102}}{17}.$$
  2. $1)\;$ $d(x,y)=0\Leftrightarrow \left\|x-y\right\|=0\Leftrightarrow x-y=0\Leftrightarrow x=y.$
    $2)\;$ $d(x,y)= \left\|x-y\right\|=\left\|-(y-x)\right\|=\left|-1\right|\left\|y-x\right\|=\left\|y-x\right\|=d(y,x).$
    $3)\;$ $d(x,y)= \left\|x-y\right\|=\left\|(x-z)+(z-y)\right\|\\\leq \left\|x-z\right\|+\left\|z-y\right\|=d(x,z)+x(z,y).$
  3. El vector $x$ se puede descomponer en la forma $x=p_F(x)+u$ con $u\in F^{\perp}.$ Entonces, para todo $y\in F$ el vector $p_F(x)-y$ pertenece a $F.$ Al ser $u\perp\left(p_F(x)-y\right),$ podemos aplicar el teorema de Pitágoras. Tenemos: $$d^2(x,y)=\left\|x-y\right\|^2=\left\|u+\left(p_F(x)-y\right)\right\|^2$$ $$=\left\|u\right\|^2+\left\|p_F(x)-y\right\|^2=\left\|x-p_F(x)\right\|^2+\left\|p_F(x)-y\right\|^2$$ $$=d^2\left(x,p_F(x)\right)+d^2\left(p_F(x),y\right)\Rightarrow d\left(x,p_F(x)\right)\leq d(x,y).$$
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