Mínima distancia de un vector a un subespacio

Proporcionamos ejercicios sobre el concepto de mínima distancia de un vector a un subespacio.

TEORÍA

1 En $\mathbb{R}^3$ con el producto escalar $$\left<(x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3)\right>=x_1y_1+2x_2y_2+3x_3y_3,$$ hallar la distancia del vector $x=(1,1,1)$ al subespacio $F\equiv x_1+x_2+2x_3=0.$

SOLUCIÓN

2  Sea $E$ espacio euclídeo. Demostrar las propiedades de la distancia:
$1.\;$ $d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y.$
$2.\;$ $d(x,y)=d(y,x)$ para todo $x,y\in E.$
$3,\;$ $d(x,y)\leq d(x,z)+x(z,y)$ para todo $x,y,z\in E.$

SOLUCIÓN

3  Sea $E$ espacio euclídeo de dimension finita y $F$ subespacio de $E.$ Entonces, para todo $x\in E$ se verifica $d\left(x,p_F(x)\right)\leq d(x,y)\;\;\forall y\in F.$

SOLUCIÓN
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