Operador simétrico, teorema espectral

Proporcionamos ejercicios sobre el operador simétrico y el teorema espectral.

TEORÍA

1 En el espacio euclídeo $\left(\mathbb{R}^3,\langle \;,\;\rangle\right)$ donde $\langle \;,\;\rangle$ representa el producto escalar usual, se considera $T\in\text{End}\left(\mathbb{R}^3\right)$ dado por: $$T(x,y,z)=(x+4y+8z,\;4x+16y+32z,\:8x+32y+64z).$$ Demostrar que $T$ es simétrico.

SOLUCIÓN

2 En $\mathbb{R}^2$ con el producto escalar $$\langle (x_1,x_2),(y_1,y_2)\rangle=\begin{pmatrix}{x_1},{x_2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{1}&{2}\\{2}&{5}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1\\{y_2}\end{pmatrix},$$ analizar si es simétrico el operador $T(x_1,x_2)=(2x_1,x_1-x_2).$

SOLUCIÓN

3 En $\mathbb{R}^2$ se considera el operador $T$ cuya matriz en una base ortonormal $B=\{u_1,u_2\}$ es  $A=\begin{bmatrix}{1}&{-2}\\{-2}&{1}\end{bmatrix}.$ Demostrar que $T$ es simétrico, hallar una base ortonormal formada por vectores propios y la matriz diagonal correspondiente.

SOLUCIÓN

4 Sea la matriz simétrica $A=\left( \begin{matrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\end{matrix} \right)$

(i Hallar los valores propios de $A$. Comprobar que son reales.
(ii)  Hallar unas bases de los subespacios propios. Comprobar que $A$ es diagonalizable en $\mathbb{R}.$
(iii)  Comprobar que vectores propios de esas bases asociados a valores propios distintos son ortogonales con el producto escalar usual.
(iv)  Hallar una base de $\mathbb{R}^3$ ortonormal y de vectores propios.
(v)  Comprobar que la matriz $P$ de cambio de base de la canónica a la del apartado anterior es ortogonal.
(vi)  Clasificar la forma cuadrática $q:\mathbb{R}^3\rightarrow{\mathbb{R}}$ dada por $q(x)=x^tAx.$

SOLUCIÓN

5  Demostrar que todo operador simétrico en un espacio euclídeo de dimensión $n$ tiene $n$ valores propios reales, contando multiplicidades.

SOLUCIÓN

6  Demostrar que el subespacio ortogonal a un vector propio de un operador simétrico $T$ en un espacio euclídeo $E$ es invariante por este operador.

SOLUCIÓN

7  Demostrar es teorema espectral para operadores simétricos:
Sea $T$ un operador simétrico en un espacio euclídeo $E.$ Entonces, existe al menos una base ortonormal de $E$ formada por vectores propios de $T.$

SOLUCIÓN

8 Sea $W$ un subespacio de un espacio euclídeo de dimensión finita $V$. Para  cualquier $v\in V,$ sea $v=w+w’$ con $w \in W,$ $w’\in W^\bot.$ Se define $T:V\rightarrow V$ por $T(v)=w-w’$. Probar $T$ es un operador simétrico de $V.$

SOLUCIÓN

9 Estudiar para qué valores de $a,b\in\mathbb{R}$ las siguientes matrices son congruentes $$A=\begin{bmatrix}{a}&{b}\\{b}&{a}\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}{3}&{2}\\{2}&{3}\end{bmatrix}.$$

SOLUCIÓN
Esta entrada fue publicada en Álgebra. Guarda el enlace permanente.