Proporcionamos ejercicios sobre matrices hermíticas.
- Demostrar que la suma de dos matrices hermíticas de $\mathbb{C}^{n\times n}$ es hermítica y que el producto de un número real por una matriz hermítica también lo es.
- Demostrar que todos los valores propios de una matriz hermítica son reales.
- Hallar los valores y vectores propios de la matriz hermítica $$A=\begin{bmatrix}{3}&{2+2i}\\{2-2i}&{1}\end{bmatrix}.$$
Enunciado
- Sean $A,B\in \mathbb{C}^{n\times n}$ hermíticas, entonces $$\left(A+B\right)^*=A^*+B^*=A+B\Rightarrow A+B\text{ es hermítica.}$$ Sean $\lambda\in\mathbb{R}$ y $A\in \mathbb{C}^{n\times n}$ hermítica. Se verifica $\overline{\lambda}=\lambda,$ por tanto $$(\lambda A)^*=\overline{\lambda} A^*=\lambda A \Rightarrow \lambda A\text{ es hermítica.}$$
- Sea $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ hermítica y sea $x\in\mathbb{C}^n$ un vector columna. Vamos a demostrar previamente que $x^*Ax$ es un número real. En efecto, $$\overline{x^*Ax}=\overline{\overline{x^t}Ax}=x^t\overline{A}\overline{x}.$$ La matriz $x^t\overline{A}\overline{x}$ es de orden $1\times 1,$ lo cual implica que es simétrica. Es decir, $$\overline{x^*Ax}=x^t\overline{A}\overline{x}=\left(x^t\overline{A}\overline{x}\right)^t=\left(\overline{x}\right)^{t}\left(\overline{A}\right)^t\left(x^t\right)^t=x^*A^*x=x^*Ax.$$ Como $x^*Ax$ coincide con su conjugado, es un número real.
Si $\lambda$ (a priori complejo) es un valor propio de $A,$ existe un vector columna $x=(x_i)\in\mathbb{C}^n$ no nulo tal que $Ax=\lambda x.$ Multiplicando a la izquierda por $x^*$ queda $x^*Ax=\lambda x^*x.$ Teniendo en cuenta que $$x^*x=\begin{pmatrix}\overline{x_1},\ldots,\overline{x_n}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\ \vdots\\{x_n}\end{pmatrix}=\overline{x_1}x_1+\cdots+\overline{x_n}x_n$$ $$=\left|x_1\right|^2+\ldots +\left|x_n\right|^2>0,$$ el valor de $\lambda$ es por tanto $\lambda=\dfrac{x^*Ax}{x^*x}\in\mathbb{R}.$ - Valores propios de $A:$ $$\chi (\lambda)=\lambda^2-(\text{tr }A)\lambda+\det A=\lambda^2-4\lambda -5=0\Leftrightarrow \lambda=5\vee \lambda=-1.$$ Subespacios propios: $$V_5\equiv \left \{ \begin{matrix} -2x_1+(2+2i)x_2=0\\(2-2i)x_1-4x_2=0\end{matrix}\right.,\quad V_{-1}\equiv \left \{ \begin{matrix} 4x_1+(2+2i)x_2=0\\(2-2i)x_1+2x_2=0.\end{matrix}\right.$$ Unas bases de estos subespacios propios son respectivamente: $$B_{5}=\{(2,1-i)\},\quad B_{-1}=\{(1,-1+i)\}$$
Solución