El anillo de las funciones continuas no es noetheriano

Demostramos que el anillo $\mathcal{C}(\mathbb{R})$ de las funciones continuas de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$ no es noetheriano usando la caracterización de la condición de cadena ascendente.

Enunciado
Sea  $\mathcal{C}(\mathbb{R})$ el anillo conmutativo y unitario de las funciones continuas de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$ con las operaciones usuales suma y producto.
(a)  Demostrar que para todo entero $n\ge 0,$ $I_n=\{f\in\mathcal{C}(\mathbb{R}):f(x)=0 \text{ si }x\ge n\}$ es un ideal de $\mathcal{C}(\mathbb{R}).$
(b)  Demostrar que la sucesión de ideales $\{I_n\}$ no cumple la condición de cadena ascendente. Concluir.

Solución
(a)  La función nula $\mathbf{0}\in\mathcal{C}(\mathbb{R})$ satisface $\mathbf{0}(x)=0$ para todo $x\ge n$ en consecuencia, $\mathbf{0}\in I_n$ para todo $n\ge 0.$ Para todo $x\ge n,$ $$f,g\in I_n\Rightarrow(f-g)(x)=f(x)-g(x)=0-0=0\Rightarrow f-g\in I_n,$$ $$h\in\mathcal{C}(\mathbb{R}),\;f\in I_n\Rightarrow(hf)(x)=h(x)f(x)=h(x)0=0\Rightarrow hf\in I_n.$$ Concluimos que $I_n$ es ideal de $\mathcal{C}(\mathbb{R}).$

(b)  Veamos que se verifica $$I_0\subseteq I_1\subseteq\ldots \subseteq I_n\subseteq I_{n+1}\subseteq \ldots$$ En efecto, si $x\in I_n$ entonces $f(x)=0$ para todo $x\ge n$ y por tanto $f(x)=0$ para todo $x\ge n+1$ i.e. $x\in I_{n+1}.$ No se cumple la condición de cadena ascendente pues la función continua $$f(x)=\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & -1+\frac{x}{n+1}&\text{ si }x<n+1\\& 0 &\text{ si }x\ge n+1\end{aligned}\end{matrix}\right.$$ pertenece a $I_{n+1},$ sin embargo $f(n)=(-1)/(n+1)\ne 0,$ luego $f\notin I_n.$ La cadena $\{I_n\}$ no se puede establizar. Concluimos que $\mathcal{C}(\mathbb{R})$ no es noetheriano.

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