Continuidad en intervalos

Proporcionamos ejercicios sobre continuidad en intervalos.

Enunciado
1. Demostrar que la ecuación $x^3+x^2-9x+2=0$ tiene al menos una raíz mayor que $0$ y menor que $1.$
2. Demostrar que la ecuación $x-\cos x=0$ tiene al menos una solución en el intervalo $(0,\pi)$.
3. Sean $a,b\in\mathbb{R}$ tales que $0<a<1$ y $b>0.$ Demostrar que la ecuación $x=a\text{ sen } x +b$ tiene al menos una raíz positiva menor o igual que $a+b$.
4. Demostrar que toda ecuación polinómica real de grado impar tiene al menos una raíz real.
5. Demostrar el teorema de Bolzano:
   Sea $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ continua. Supongamos que $f(a)f(b)<0$ (es decir, $f(a)$ y $f(b)$ son no nulos y con distinto signo). Entonces, existe al menos un $c\in(a,b)$ tal que $f(c)=0$
6. Demostrar que la función $f(x)=x^3+x^2-3x+2$ toma el valor $\pi$ en el intervalo $(1,2)$.
7. Usando el teorema de Bolzano, demostrar el teorema de los valores intermedios para funciones continuas:
   Sea $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ uuna función continua. Sean $x_1,x_2$ dos puntos de $[a,b]$ tales que $x_1<x_2$ y $f(x_1)\neq f(x_2)$. Entonces, la función $f$ toma todos los valores comprendidos entre $f(x_1)$ y $f(x_2)$ al menos una vez en el intervalo $(x_1,x_2.)$
8. Se considera la función $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ dada por $f(x)=\left|x^3+\cos x\right|$. Demostrar que $f$ alcanza en $[0,1]$ un máximo y un mínimo absolutos.

Solución
1. La función $f(x)=x^3+x^2-9x+2$ es continua en $[0,1]$. Además, $f(0)=2>0$ y $ f(1)=-6<0.$ Por el teorema de Bolzano, existe un $c\in(0,1)$ tal que $f(c)=0$, o de forma equivalente: la ecuación dada tiene al menos una raíz mayor que $0$ y menor que $1.$
2. La función $f(x)=x-\cos x$ es continua en $\mathbb{R}$, por tanto lo es en $[0,\pi]$. Además, $f(0)=-1<0$ y $f(\pi)=\pi +1>0$. Por el teorema de Bolzano, existe un $c\in(0,\pi)$ tal que $f(c)=0$, o de forma equivalente: la ecuación dada tiene al menos una raíz en $(0,\pi)$.
3. La función $f(x)=x-a\text{ sen } x -b$ es continua en $\mathbb{R}$, por tanto lo es en $[0,a+b]$. Además, $$f(0)=-b<0\;,\quad f(a+b)=a(1-\text{ sen }(a+b)).$$ Si $\text{sen }(a+b)=1$, entonces $f(a+b)=0$ y $a+b$ es la raíz pedida. Si $\text{sen }(a+b)\neq 1$, entonces $\text{sen }(a+b)< 1$ y al ser $0<a<1:$ $$f(a+b)=a(1-\text{ sen }(a+b))>0.$$ Por el teorema de Bolzano, existe un $c\in(0,a+b)$ tal que $f(c)=0$, y $c$ es la raíz pedida.
4. Sea $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0$ una función polinómica real de grado $n$ impar. Supongamos que $a_n>0$. Entonces: $$ (i)\;\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)=\lim_{x\to -\infty}x^n\left(a_n+\dfrac{a_{n-1}}{x}+\ldots+\dfrac{a_1}{x^{n-1}}+\dfrac{a_0}{x^n}\right)=-\infty.$$ $$(ii)\;\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=\lim_{x\to +\infty}x^n\left(a_n+\frac{a_{n-1}}{x}+\ldots+\frac{a_1}{x^{n-1}}+\frac{a_0}{x^n}\right)=+\infty.$$ Por las definiciones de estos límites, deducimos de $(i)$ que existe $x_1\in\mathbb{R}$ tal que $f(x)<0$ si $x<x_1$ y de $(ii)$, que existe $x_2\in\mathbb{R}$ tal que $f(x)>0$ si $x>x_2$. Podemos por tanto elegir $a,b$ reales con $a<b$ tales que $f(a)<0$ y $f(b)>0$.
   Dado que $f$ es continua en $[a,b]$, por el teorema de Bolzano existe $c\in (a,b)$ tal que $f(c)=0$. Es decir, la ecuación polinómica $f(x)=0$ tiene al menos una raíz real. Razonamiento análogo si $a_n<0$.
5. Supongamos que $f(a)<0$ y $f(b)>0$. Consideremos el conjunto: $$A=\{x\in[a,b]:f(x)\leq 0\}.$$ El conjunto $A$ no es vacío pues $a\in A$ y está acotado al estar contenido en $[a,b]$. Por tanto, existe $c=\sup A$ (axioma del extremo superior).
   Es claro que $a<c<b$. Veamos que $f(c)=0$. Como $f$ es continua, si $f(c)>0$ existe un intervalo $(c-\delta,c+\delta)$ tal que $f(x)>0$ para todo $x$ en ése intervalo. En consecuencia, ningún punto de $A$ puede estar a la derecha de $c-\delta$ lo cual implica que $c-\delta$ es cota superior de $A$. Pero $c-\delta<c$ lo cual contradice la definición de $c$.
   Si $f(c)<0$ existe un intervalo $(c-\delta,c+\delta)$ tal que $f(x)<0$ para todo $x$ en ése intervalo. En consecuencia, $f(x)<0$ para algún $x>c$. Esto contradice el hecho de ser $c$ cota superior de $A$.
   Podemos pues concluir que $f(c)=0$. El caso $f(a)>0$ y $f(b)<0$ se razona de manera análoga considerando el conjunto $A=\{x\in[a,b]:f(x)\geq 0\}$ y de nuevo $c=\sup A$.
6. La función $f$ es continua en $[1,2]$. Además $f(1)=1+1-3+2=1$ y $f(2)=8+4-6+2=8$. Dado que $1<\pi<8$, por el teorema de los valores intermedios para funciones continuas, existe $c\in (1,2)$ tal que $f(c)=\pi$
7. Supongamos $f(x_1)<f(x_2)$ y sea $k$ un número real tal que $f(x_1)<k<f(x_2)$. Definimos la función: $$f:[x_1,x_2]\to \mathbb{R}\;,\quad g(x)=f(x)-k.$$ La función $g$ es continua en $[x_1,x_2]$. Además: $$g(x_1)=f(x_1)-k<0\;,\quad g(x_2)=f(x_2)-k>0.$$ Aplicando el teorema de Bolzano a $g$, deducimos que existe $c\in(x_1,x_2)$ tal que $g(c)=f(c)-k=0$ o de forma equivalente, $g(c)=k$ para algún $c\in (x_1,x_2)$. Si $f(x_1)<f(x_2)$, se razona de manera análoga.
8. La función $g(x)=x^3+\cos x$ es elemental y está definida en $[0,1]$, en consecuencia es continua en tal intervalo. Por otra parte, $h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ dada por $h(x)=|x|$ es continua y además $f=h\circ g$. Como la composición de funciones continuas es continua, $f$ es continua en $[0,1]$. Por el teorema de Weierstrass, $f$ alcanza en $[0,1]$ un máximo y un mínimo absolutos.