Centro de un grupo de matrices

Dererminamos el centro de un grupo de matrices.

Enunciado
Demostrar que el conjunto  $H$  de matrices de la forma $$X=\begin{bmatrix}{1}&{x}&{z}\\{0}&{1}&{y}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix}\quad  x,y,z\in\mathbb{R},$$ forma un grupo con la operación producto de matrices. Calcular su centro.

(Propuesto en examen, Álgebra, ETS Ing. de Caminos, UPM).

Solución
Veamos que  $H$  es un subgrupo del grupo multiplicativo  $G$  formado por las matrices invertibles  $3\times 3$. Toda matriz  $X$  de  $H$  tiene determinante no nulo, en consecuencia,  $H\subset G$. Claramente  $H\neq \emptyset$, por tanto basta demostrar que para todo par de matrices  $X,Y$ de  $H$  se verifica  $XY^{-1}\in H$. Denotemos $$X=\begin{bmatrix}{1}&{x}&{z}\\{0}&{1}&{y}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix},\quad Y=\begin{bmatrix}{1}&{x’}&{z’}\\{0}&{1}&{y’}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix}.$$ Entonces, $$XY^{-1}=\begin{bmatrix}{1}&{x}&{z}\\{0}&{1}&{y}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{1}&{-x’}&{x’y’-z’}\\{0}&{\;\;1}&{-y’}\\{0}&{\;\;0}&{\;\;1}\end{bmatrix}$$ $$ =\begin{bmatrix}{1}&{x-x’}&{y'(x’-x)+z-z’}\\{0}&{1}&{y-y’}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix}\in H.$$ Si  $A\in Z(H)$  (centro de  $H$) será de la forma: $$A=\begin{bmatrix}{1}&{a}&{c}\\{0}&{1}&{b}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix}\quad (a,b,c\in\mathbb{R}),$$ es decir $$A\in Z(H)\Leftrightarrow XA=AX\;\;\forall X\in H \Leftrightarrow \begin{bmatrix}{1}&{a+x}&{c+bx+z}\\{0}&{1}&{b+y}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix}$$ $$= \begin{bmatrix}{1}&{x+a}&{z+ay+c}\\{0}&{1}&{y+b}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix}\Leftrightarrow bx=ay\;\;\forall x,y\in\mathbb{R}\Leftrightarrow a=b=0.$$ El centro de  $H$ es por tanto $$Z(H)=\{\;\;{A=\begin{bmatrix}{1}&{0}&{c}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix}}:c\in\mathbb{R}\;\;\}.$$