Derivada logarítmica

Proporcionamos ejercicios sobre la derivada logarítmica.

Enunciado
1. Hallar la derivada de la función $y=x^{\operatorname{sen}x}.$
2. Hallar la derivada de la función $y=(\cos x)^{\operatorname{sen}x}.$
3. Hallar la derivada de la función $y=x^{x^x}$
4. Siendo $f(x)=\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)^x,$ calcular $f'(2).$

Solución
1. Tomando logaritmos: $\log y=(\operatorname{sen}x)(\log x).$ Derivando: $$\frac{y’}{y}=(\cos x)\log x+(\operatorname{sen}x)\dfrac{1}{x}.$$ Pasando $y$ al segundo miembro y sustituyendo por su valor: $$y’=x^{\operatorname{sen}x}\left((\cos x)\log x+\dfrac{\operatorname{sen}x}{x}\right).$$
2. Tomando logaritmos: $\log y=(\operatorname{sen}x)(\log \cos x).$ Derivando: $$\frac{y’}{y}=(\cos x)(\log \cos x)+\operatorname{sen}x\dfrac{-\operatorname{sen}x}{\cos x}.$$ Pasando $y$ al segundo miembro y sustituyendo por su valor: $$y’=(\cos x)^{\operatorname{sen}x}\left((\cos x)(\log \cos x)-\dfrac{\operatorname{sen}^2x}{\cos x}\right).$$
3. Tomando logaritmos: $\log y=x^x\log x.$ Derivando: $$\frac{y’}{y}=\left(x^x\right)’\log x+x^x\dfrac{1}{x}.$$ En un ejercicio anterior, ya vimos usando derivación logarítmica que: $$\left(x^x\right)’=x^x\left(1+\log x\right),$$ por tanto, $$\frac{y’}{y}=x^x\left(1+\log x\right)\log x+\dfrac{x^x}{x}.$$ Pasando $y$ al segundo miembro y sustituyendo por su valor: $$y’=x^{x^x}\left(x^x\left(1+\log x\right)\log x+\dfrac{x^x}{x}\right).$$ Simplificando, $y’=x^{x^x}x^x\left(\log x+\log^2x+\dfrac{1}{x}\right).$
4. Tomando logaritmos: $\log f(x)=x\log \dfrac{x-1}{x+1}=x\left(\log(x-1)-\log (x+1)\right).$ Derivando: $$\dfrac{f'(x)}{f(x)}=\log(x-1)-\log (x+1)+x\left(\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}\right).$$ Sustituyendo $x=2:$ $$\dfrac{f'(2)}{(1/3)^2}=\log1-\log 3+2\left(1-\dfrac{1}{3}\right)\Rightarrow f'(2)=\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{4}{3}-\log 3\right).$$