La distancia es uniformemente continua

Demostramos que la aplicación distancia es uniformemente continua.

Enunciado
Sea $(E,d)$ un espacio métrico. Demostrar que la aplicación distancia $d:E\times E\to\mathbb{R}^+$ es uniformemente continua considerando en $E\times E$ la distancia

$d_1[(x,y),(u,v)]=d(x,u)+d(y,v).$

y en $\mathbb{R}^+$ la distancia usual $d_u(t,s)=|t-s|$

Solución
Para todo $x,y,u,v\in E$ y usando la desigualdad triangular:

$\begin{aligned}
d(x,y)&\leq d(x,u)+d(u,y)\\
&\leq d(x,u)+d(u,v)+d(v,y)\\
&\Rightarrow d(x,y)-d(u,v)\leq d(x,u)+d(v,y).\quad(1)
\end{aligned}$

Análogamente:

$\begin{aligned}
d(u,v)&\leq d(u,x)+d(x,v)\\
&\leq d(u,x)+d(x,y)+d(y,v)\\
&\Rightarrow d(u,v)-d(x,y)\leq d(u,x)+d(y,v).\quad(2)
\end{aligned}$

De (1) y (2) deducimos $|d(x,y)-d(u,v)|\leq d_1[(x,y),(u,v)].$ Sea $\epsilon>0$ y elijamos $\delta=\epsilon.$ Entonces, si $ d_1[(x,y),(u,v)]<\delta$ se verifica

$|d(x,y)-d(u,v)|\leq d_1[(x,y),(u,v)]<\delta=\epsilon.$

Es decir, $d$ es uniformemente continua.

Consecuencias
1. Al ser $d$ es uniformemente continua, es continua.
2. Al ser $d_1$ equivalente a las distancias:

$d_{\infty}[(x,y),(u,v)]=\max\{d(x,u),d(y,v)\},$
$d_2[(x,y),(u,v)]=\sqrt{d^2(x,u)+d^2(y,v)},$

la aplicación $d$ es también uniformemente continua cuando en $E\times E$ se consideran las distancias $d_{\infty}$ y $d_2.$