Grupo en $(-1,1)$

RESUMEN. Construimos una estructura de grupo abeliano en el intervalo $(-1,1).$

Enunciado.
Sea $G=(-1,1)\subset \mathbb{R}.$ Para todo $a,b\in\mathbb{R}$ se define $$a*b=\frac{a+b}{1+ab}.$$ Demostrar que $(G,*)$ es un grupo abeliano.

Solución.
Interna. Para todo $a,b\in G$ tenemos que demostar que $a*b\in G.$ El denominador no se anula pues si $1+ab=0$ entonces $|a||b|=1$ lo cual es imposible pues $|a| < 1$ y $|b| < 1.$ Si existieran $a,b\in G$ tales que $a*b\notin G$ entonces, $$\frac{a+b}{1+ab}\ge 1 \text{ o bien }\frac{a+b}{1+ab}\le -1.$$ Tendríamos $$\frac{a+b}{1+ab}\ge 1\underbrace{\Rightarrow}_{1+ab > 0}a+b \ge 1+ab\Rightarrow a-ab\ge1-b$$ $$\Rightarrow a(1-b)\ge 1-b\underbrace{\Rightarrow}_{1-b > 0} a\ge 1\text{ (absurdo).}$$ $$\frac{a+b}{1+ab}\le -1\underbrace{\Rightarrow}_{1+ab > 0}a+b \le -1-ab\Rightarrow b+ab\le -1-a$$ $$\Rightarrow b(1+a)\le -(1+a)\underbrace{\Rightarrow}_{1+a > 0}b\le -1\text{ (absurdo).}$$ Es decir para todo $a,b\in G$ se verifica $a*b\in G.$
Asociativa. Para todo $a,b,c\in G:$ $$(a*b)*c=\frac{a+b}{1+ab}*c=\frac{\dfrac{a+b}{1+ab}+c}{1+\dfrac{a+b}{1+ab}c}=\frac{a+b+c+abc}{1+ab+ac+bc}.$$ $$a*(b*c)=a*\frac{b+c}{1+bc}=\frac{a+\dfrac{b+c}{1+bc}}{1+a\dfrac{b+c}{1+bc}}=\frac{a+abc+b+c}{1+bc+ab+ac}.$$ Es decir, $(a*b)*c=a*(b*c)$ para todo $a,b,c\in G.$
Conmutativa. Para todo $a,b\in G:$ $$a*b=\frac{a+b}{1+ab}=\frac{b+a}{1+ba}=b*a.$$ Existencia de elemento neutro. Para todo $a\in G$ se verifica $$a*0=\frac{a+0}{1+a0}=\frac{a}{1}=a,$$ y al ser la operación conmutativa $0*a=a$ para todo $a\in G$, por tanto $0\in G$ es el elemento neutro de la operación $*.$
Existencia de elemento simétrico. Sea $a\in G.$ Al ser la operación $*$ conmutativa, $a^\prime\in G$ es elemento simétrico de $a$ si y sólo si $a*a^\prime =0.$ Entonces, $$a*a^\prime =0\Leftrightarrow \frac{a+a^\prime}{1+aa^\prime}=0\underbrace{\Leftrightarrow}_{1+aa^\prime\ne 0}a^\prime+a=0\Leftrightarrow a^\prime=-a,$$ y $a^\prime \in G.$ Concluimos que $(G,*)$ es grupo abeliano.

Anexo. Damos una alternativa para demostrar la propiedad interna. Consideremos la familia de funciones dependientes del parámetro $y$: $$f_y:[-1,1]\to\mathbb{R},\quad f_y (x)=\dfrac{x+y}{1+xy}\text{ con }y\in (-1,1).$$ y hallemos los extremos absolutos de cada función continua $f_y$ en el intervalo compacto $[-1,1].$ Tenemos $$f_y^\prime (x)=\displaystyle\frac{1(1+xy)-y(x+y)}{(1+xy)^2}=\frac{1-y^2}{(1+xy)^2}>0\;\;\forall y\in (-1,1).$$ Cada $f_y$ es por tanto estrictamente creciente con lo cual los extremos absolutos se alcanzan en los extremos del intervalo $[-1,1]$: $$f_y(-1)=\displaystyle\frac{-1+y}{1-y}=-1,\quad f_y(-1)=\displaystyle\frac{1+y}{1+y}=1.$$ Si $D=(-1,1)\times (-1,1)$ podemos por tanto concluir que $$\inf \{\displaystyle\frac{x+y}{1+xy}:(x,y)\in D\}=-1,\quad \sup \{\displaystyle\frac{x+y}{1+xy}:(x,y)\in D\}=1,$$ no siendo ni el ínfimo ni el supremo accesibles en $D$.