Distribución de Pascal o geométrica

RESUMEN. Definimos la distribución de Pascal o geométrica y hallamos su media y desviación típica.

    Enunciado.
    Sea $A$ un suceso de un experimento aleatorio y consideremos una serie de pruebas independientes de dicho experimento. Sea $P(X=k)$ la probabilidad de que aparezca $A$ por primera vez en la prueba $k.$
  1. Determinar la probabilidad $P(X=k), k=1,2,3,\ldots $ (Distribución de Pascal o geométrica).
  2. Demostrar que $P(X=k), k=1,2,3,\ldots $ es efectivamente una función de probabilidad.
  3. Determinar la media de la distribución de Pascal o geométrica.
  4. Determinar su desviación típica.
    Solución.
  1. Si $p(A)=p,$ entonces $p(A^c)=q=1-p.$ Entonces, $P(X=k)$ es la probabilidad del suceso $\underbrace{A^cA^c\ldots A^c}_{k-1\text{ veces}}A$ con lo cual, al ser las pruebas independientes, $$P(X=k)=q^{k-1}p.$$
  2. Tenemos $P(X=k)=q^{k-1}p\ge 0$ para todo $k.$ Además $$\sum_{k=1}^{+\infty}P(X=k)=\sum_{k=1}^{+\infty}q^{k-1}p=p\sum_{k=0}^{+\infty}q^{k}=p\frac{1}{1-q}=\frac{p}{p}=1.$$
  3. La media es $$E(X)=\sum_{k=1}^{+\infty}kP(X=k)=\sum_{k=1}^{+\infty}kq^{k-1}p=p\sum_{k=1}^{+\infty}kq^{k-1}.$$ Llamando $S=\sum_{k=1}^{+\infty}kq^{k-1}=1+2q+3q^2+4q^3+\ldots,$ $$S=1+2q+3q^2+4q^3+\ldots \Rightarrow qS=q+2q^2+3q^3+4q^4+\ldots$$ $$\Rightarrow S-qS=1+q+q^2+q^3+\ldots\Rightarrow (1-q)S=\frac{1}{1-q}$$ $$\Rightarrow S=\frac{1}{(1-q)^2}=\frac{1}{p^2}\Rightarrow E(X)=p\frac{1}{p^2}=\frac{1}{p}.$$
  4. Tenemos $$E(X^2) = \sum_{k=1}^{+\infty} k^2q^{k-1}p =\sum_{k=1}^{+\infty} (k-1+1)^2q^{k-1}p$$ $$=\sum_{k=1}^{+\infty} (k-1)^2q^{k-1}p + \sum_{k=1}^{+\infty} 2(k-1)q^{k-1}p + \underbrace{\sum_{k=1}^{+\infty} q^{k-1}p}_{=1\text{ por ap. }2.}$$ $$= \sum_{j=0}^{+\infty} j^2q^jp + 2\sum_{j=0}^{+\infty} jq^jp + 1=\sum_{j=1}^{+\infty} j^2q^jp + 2\sum_{j=1}^{+\infty} jq^jp + 1$$ $$=qE(X^2) + 2qE(X) + 1=qE(X^2)+\frac{2q}{p}+1.$$ Despejando $E(X^2)$ obtenemos $$E(X^2) = \frac{q+1}{p^2}$$ y por tanto la varianza y desviación típica de la distribución de Pascal o geométrica son $$\text{Var }(X) = \frac{q+1}{p^2} – \frac{1}{p^2} = \frac{q}{p^2},\quad \sigma_X=\frac{\sqrt{q}}{p}.$$
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