Criterios de Stolz y de las medias aritmética y geométrica

Proporcionamos ejercicios sobre los criterios de Stolz y de las medias aritmética y geométrica para hallar límites.

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. Calcular $L=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2}{n^3}.$
  2. Calcular $L=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\left(\frac{2}{n}+\frac{3}{2n}+\frac{4}{3n}+\cdots+\frac{n+1}{n^2}\right).$
  3. Calcular $L=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\sqrt[n]{2\cdot\dfrac{5}{4}\cdot \dfrac{10}{9}\cdot\ldots\cdot\dfrac{n^2+1}{n^2}}.$
  4. A partir del criterio de Stolz, demostrar el criterio de la media aritmética.
  5. Se considera la sucesión $a_n$ definida como $$\begin{cases} a_1=1 \\a_{n+1}=\sqrt{a_1+a_2+\cdots+a_n}. \end{cases}$$ Demostrar que $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{a_n}{n}=\frac{1}{2}$.
    Solución
  1. La sucesión $y_n=n^3$ es estrictamente creciente y tiene límite $+\infty.$ Sea $x_n=1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2.$ Entonces, $$\lim_{n\to +\infty}\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}=\lim_{n\to +\infty}\frac{(n+1)^2}{(n+1)^3-n^3}=\lim_{n\to +\infty}\frac{n^2+2n+1}{3n^2+3n+1}=\frac{1}{3}.$$ Por el criterio de Stolz, $L=\dfrac{1}{3}.$
  2. Podemos escribir: $$\frac{2}{n}+\frac{3}{2n}+\frac{4}{3n}+\cdots+\frac{n+1}{n^2}=\frac{1+\dfrac{2}{3}+\dfrac{4}{3}+\cdots+\dfrac{n+1}{n}}{n}.$$ Ahora bien, como $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{n+1}{n}=1$ deducimos del criterio de la media aritmética que $L=1.$
  3. Se verifica $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{n^2+1}{n^2}=1,$ por tanto $L=1$ como consecuencia del criterio de la media geométrica.
  4. Sea $\{a_n\}$ una sucesión con límite $L\in\mathbb{R}\cup \{-\infty,+\infty\},$ y consideremos las sucesiones $$x_n=\sum_{k=1}^na_k,\quad y_n=n.$$ Es claro que se satisfacen para estas sucesiones las hipótesis del criterio de Stolz. Tenemos: $$\lim_{n\to +\infty}\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}=\lim_{n\to +\infty}\frac{a_{n+1}}{1}=\lim_{n\to +\infty}a_n=L,$$ lo cual implica que $$L=\lim_{n\to +\infty}\frac{x_n}{y_n}=\lim_{n\to +\infty}\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}.$$
  5. Ver Límite de una sucesión recurrente aplicando el criterio de Stolz.
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