Criterios de Stolz y de las medias aritmética y geométrica

Proporcionamos ejercicios sobre criterios son útiles para el cálculo de algunos límites.

TEORÍA

1 Calcular $L=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2}{n^3}.$

SOLUCIÓN

2Calcular $L=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\left(\frac{2}{n}+\frac{3}{2n}+\frac{4}{3n}+\cdots+\frac{n+1}{n^2}\right).$

SOLUCIÓN

3 Calcular $L=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\sqrt[n]{2\cdot\dfrac{5}{4}\cdot \dfrac{10}{9}\cdot\ldots\cdot\dfrac{n^2+1}{n^2}}.$

SOLUCIÓN

4  A partir del criterio de Stolz, demostrar el criterio de la media aritmética.

SOLUCIÓN

5 Se considera la sucesión $a_n$ definida como $$\begin{cases} a_1=1 \\a_{n+1}=\sqrt{a_1+a_2+\cdots+a_n}. \end{cases}$$ Demostrar que $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{a_n}{n}=\frac{1}{2}$.

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