Cambios de variable en las ecuaciones diferenciales

TEORÍA

1 Demostrar que sustitución $z=ax+by$ transforma la ecuación $y’=f(ax+by+c),$ en una de variables separadas.

SOLUCIÓN

2 Demostrar que la expresión $xdx+ydy,$ se transforma mediante  la sustitución $u=x^2+y^2$ en $du/2.$

SOLUCIÓN

3 Efectuar una adecuada sustitución que transforme la siguiente ecuación en una de variables separadas $$(xy+1)dx+2x(2xy-1)dy=0.$$

SOLUCIÓN

4 Efectuar el cambio de variable $y=v-x$ para transformar la ecuación $(x+y)dx+dy=0$ en una de variables separadas, e integrarla.

SOLUCIÓN

5 $a)$ Demostrar que toda ecuación del tipo $xy’-y=f(x)g(y/x)$ se transforma en una de variables separadas mediante la sustitución $y=vx.$
$b)$ Aplicación: resolver la ecuación diferencial $$xy’-y=2x\frac{y^2-x^2}{x^4-1}.$$

SOLUCIÓN

6 Demostrar que la expresión $xdy-ydx,$ se transforma mediante  la sustitución $v=x/y$ en $-x^2dv/v^2$ y  mediante $v=y/x$ en $x^2dv.$

SOLUCIÓN
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