Cambios de variable en las ecuaciones diferenciales

Resolvemos ecuaciones diferenciales mediante distintos cambios de variable.

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. Demostrar que sustitución $z=ax+by$ transforma la ecuación $y’=f(ax+by+c),$ en una de variables separadas.
  2. Demostrar que la expresión $xdx+ydy,$ se transforma mediante la sustitución $u=x^2+y^2$ en $du/2.$
  3. Efectuar una adecuada sustitución que transforme la siguiente ecuación en una de variables separadas: $(xy+1)dx+2x(2xy-1)dy=0.$
  4. Efectuar el cambio de variable $y=v-x$ para transformar la ecuación $(x+y)dx+dy=0$ en una de variables separadas, e integrarla.
  5. $a)$ Demostrar que toda ecuación del tipo $xy’-y=f(x)g(y/x)$ se transforma en una de variables separadas mediante la sustitución $y=vx.$
    $b)$ Aplicación: resolver la ecuación diferencial $$xy’-y=2x\frac{y^2-x^2}{x^4-1}.$$
  6. Demostrar que la expresión $xdy-ydx,$ se transforma mediante la sustitución $v=x/y$ en $-x^2dv/v^2$ y mediante $v=y/x$ en $x^2dv.$
    Solución
  1. Se verifica $dz=adx+bdy,$ por tanto $$y’=f(ax+by+c)\Leftrightarrow \frac{dy}{dx}=f(z+c)\Leftrightarrow \frac{dz-adx}{bdx}=f(z+c)$$ $$\Leftrightarrow dz-adx=bf(z+c)dx\Leftrightarrow \left(bf(z+c)+a\right)dx-dz,$$ que claramente es una ecuación de variables separadas.
  2. Diferenciando $u=x^2+y^2$ obtenemos $du=2xdx+2ydy,$ por tanto $xdx+ydy=du/2.$
  3. La repetición de $xy,$ sugiere la sustitución $v=xy,$ con lo cual $dv=ydx+xdy.$ La ecuación dada se transforma en $$(v+1)dx+2x(2v-1)\frac{dv-ydx}{x}=0,$$ $$x(v+1)dx+2x^2(2v-1)\left(dv-\frac{v}{x}dx\right)=0.$$ Operando queda $$x(1+3v-4v^2)dx+2x(2v-1)=0,$$ que es una ecuación de variables separadas.
  4. El cambio $y=v-x$ transforma la ecuación en la forma $vdx+dv-dx=0$ o equivalentemente $(v-1)dx+dv=0,$ que es de variables separadas. Tenemos $$dx+\frac{dv}{v-1}=0,\;\int dx+\int \frac{dv}{v-1}=K,\;x+\log \left(v-1\right)=K,$$ $$\log e^x(x+y-1)=K,\;e^x(x+y-1)=e^K.$$ La solución general es por tanto $e^x(x+y-1)=C.$
  5. $a)$ Derivando $y=vx,$ obtenemos $y’=v’x-v.$ Sustituyendo en la ecuación: $$x\left(x\frac{dv}{dx}-v\right)-vx=f(x)g(v),$$ $$x^2\frac{dv}{dx}=f(x)g(v),\;\;f(x)g(v)dx-x^2dv=0,$$ ecuación de variables separadas.
    $b)$ Podemos expresar $$2x\frac{y^2-x^2}{x^4-1}=\frac{2x}{x^4-1}\cdot x^2\left(\frac{y^2}{x^2}-1\right)=\frac{2x^3}{x^4-1}(v^2-1).$$ Entonces, $$f(x)=\frac{2x^3}{x^4-1},\;g(v)=v^2-1,$$ y la ecuación se transforma en $$\frac{2x^3}{x^4-1}(v^2-1)dx-x^2dv=0,\text{ o bien, } \frac{2x\;dx}{x^4-1}-\frac{dv}{v^2-1}=0.$$ Integrando: $$ \int\frac{2x\;dx}{x^4-1}-\int\frac{dv}{v^2-1}=k,\;\int \frac{d(x^2)}{(x^2)^2-1}-\int\frac{dv}{v^2-1}=k.$$ Usando que $$\int \frac{dt}{t^2-1}=\frac{1}{2}\log \left|\frac{t-1}{t+1}\right|,\text{ queda:}$$ $$\frac{1}{2}\log \left|\frac{x^2-1}{x^2+1}\right|-\frac{1}{2}\log \left|\frac{x^2-1}{x^2+1}\right|=k,\,\log \left|\frac{x^2-1}{x^2+1}\frac{v+1}{v-1}\right|=2k,$$ $$\frac{x^2-1}{x^2+1}\frac{v+1}{v-1}=e^{2k},\;\frac{x^2-1}{x^2+1}\frac{y/x+1}{y/x-1}=c,\;\frac{x^2-1}{x^2+1}\frac{y+x}{y-x}=c.$$ Despejando $y,$ y agrupando constantes queda: $$y=x\frac{x^2+C}{Cx^2+1}.$$
  6. Diferenciando $v=x/y:$ $$dv=\left(\frac{x}{y}\right)’dx=\frac{y-y’x}{y^2}dx=\frac{y-\frac{dy}{dx}\cdot x}{y^2}dx$$ $$=\frac{ydx-xdy}{y^2}=\frac{ydx-xdy}{x^2/v^2}=-\frac{xdy-ydx}{x^2}v^2,$$ es decir $xdy-ydx=-x^2dv/v^2.$ Diferenciando $v=y/x:$ $$dv=\left(\frac{y}{x}\right)’dx=\frac{y’x-y}{x^2}dx=\frac{\frac{dy}{dx}\cdot x-y}{x^2}dx=\frac{xdy-ydx}{x^2}$$ es decir $xdy-ydx=x^2dv.$
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