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Primeras ecuaciones diferenciales aritméticas

Derivada aritmética (menú) Estudiamos algunas ecuaciones diferenciales aritméticas sencillas. Enunciado Es natural plantear el problema de encontrar todos los números naturales que satisfacen a la ecuación diferencial aritmética $$a_kn^{(k)} +a_{k-1}n^{(k-1)}+\cdots+a_2n^{\prime\prime} +a_1n^\prime +a_0n=b$$ con los $a_i$ y $b$, números naturales. Vemos … Sigue leyendo

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Resolución de sistemas diferenciales autónomos

No existe un método general para la resolución de sistemas diferenciales autónomos. En el siguiente ejercicio, se dan algunas técnicas. Designamos a la variable independiente por $t.$ Ejercicio 1.  Resolver el sistema diferencial autónomo $$\left \{ \begin{matrix}  x_1^{\prime}=\cos^2(x_1+x_2) \\ x_2^{\prime}=\operatorname{sen}^2(x_1+x_2)\end{matrix}\right.\quad … Sigue leyendo

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Sistemas diferenciales según parámetro

Enunciado Para cada valor real del parámetro $a$ se considera la matriz $A=\begin{bmatrix}{0}&{1}\\{1-a}&{a}\end{bmatrix}.$ Clasificar los sistemas diferenciales $X’=AX.$ (Propuesto en examen, Amp. Mat., ETS de Ing. de Montes, UPM). Solución Hallemos los valores propios de $A:$ $\begin{aligned} \left|A-\lambda I\right|&= \lambda^2-(\mbox{tr}A)\lambda+\det … Sigue leyendo

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Sistemas diferenciales lineales no homogéneos con coeficientes constantes

Resolvemos dos sistemas diferenciales lineales no homogéneos con coeficientes constantes. Enunciado Resolver el sistema diferencial: $$X’=\begin{bmatrix}{\;\;4}&{1}\\{-2}&{1}\end{bmatrix}X+\begin{bmatrix}{0}\\{-2e^{t}}\end{bmatrix},$$ con la condición $X(0)=\begin{bmatrix}{1}\\{0}\end{bmatrix}.$ Resolver el sistema diferencial: $$X’=\begin{bmatrix}{-1}&{0}&{0}\\{\;\;0}&{2}&{1}\\{\;\;0}&{0}&{2}\end{bmatrix}X+\begin{bmatrix}{t}\\{1}\\{0}\end{bmatrix},$$ con la condición $X(0)=\begin{bmatrix}{\;\;0}\\{\;\;1}\\{-1}\end{bmatrix}.$ Solución Recordemos el siguiente teorema: sea el sistema diferencial lineal no … Sigue leyendo

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Sistemas diferenciales lineales homogéneos con coeficientes constantes

Resolvemos tres sistemas diferenciales lineales homogéneos con coeficientes constantes. Enunciado Resolver los siguientes sistemas diferenciales: $\quad\left \{ \begin{matrix}x’_1=2x_1+x_2+x_3\\x’_2=x_1+2x_2+x_3\\ x’_3=x_1+x_2+2x_3\end{matrix}\right.\quad$ con la condición inicial $\qquad \left \{ \begin{matrix}x_1(1)=1\\x_2(1)=0\\ x_3(1)=3.\end{matrix}\right.$ $\quad \begin{bmatrix}{x’_1}\\{x’_2}\\{x’_3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{2}&{6}&{-15}\\{1}&{1}&{-5}\\{1}&{2}&{-6}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{x_1}\\{x_2}\\{x_3}\end{bmatrix}.$ $\quad \begin{bmatrix}{x’}\\{y’}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{3}&{-1}\\{13}&{-3}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{x}\\{y}\end{bmatrix}\quad$ con la condición inicial $\begin{bmatrix}{x(0)}\\{y(0)}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{2}\\{2}\end{bmatrix}.$ Solución Recordemos el … Sigue leyendo

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Integración de diferenciales binomias

Enunciado Calcular $I=\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{x}\left(\sqrt[4]{x}+1\right)^{10}}.$ Calcular $I=\displaystyle\int\frac{x^3dx}{(a^2-x^2)\sqrt{a^2-x^2}}.$ Calcular $I=\displaystyle\int\frac{dx}{x^4\sqrt{1+x^2}}.$ Solución Podemos expresar $I=\displaystyle\int x^{-1/2}\left(1+x^{1/4}\right)^{-10}dx.$ Se trata pues de una diferencial binomia con $p=-10,$ $m=-1/2$ y $n=1/4.$ Dado que $p$ es entero, estamos en el primer caso de integrabilidad. El mínimo común múltiplo … Sigue leyendo

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Cambios de variable en las ecuaciones diferenciales

Resolvemos ecuaciones diferenciales mediante distintos cambios de variable. Enunciado Demostrar que sustitución $z=ax+by$ transforma la ecuación $y’=f(ax+by+c),$ en una de variables separadas. Demostrar que la expresión $xdx+ydy,$ se transforma mediante la sustitución $u=x^2+y^2$ en $du/2.$ Efectuar una adecuada sustitución que … Sigue leyendo

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Construcción de ecuaciones diferenciales

Proporcionamos ejercicios sobre la construcción de ecuaciones diferenciales. Enunciado Formar la ecuación diferencial de las siguientes familias de curvas $a)\; y=Cx.\quad b)\;y=C_1\cos 2x+C_2\operatorname{sen} 2x$. Encontrar la ecuación diferencial de las siguientes familias de curvas $a)\;x^2+y^2=C.\quad b)\;y=C_1e^{2x}+C_2e^{- 2x}.$ Formar la ecuación … Sigue leyendo

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