Integrales indefinidas: problemas diversos

Proporcionamos problemas diversos sobre integración indefinida.

    Enunciado
  1. Calcular:
    $ a)\;\displaystyle\int \left(e^{ax}+e^{-ax}\right)^2dx,\;(a\neq 0).$
    $b)\;\displaystyle\int 2^x\;3^{2x}\;5^{3x}\;dx.$
    $c)\;\displaystyle\int \left(\tan x+\cot x\right)^2dx.$
  2. Usando integración por partes, calcular $I=\displaystyle\int\sqrt{a^2-x^2}dx,\;(a\neq 0).$
  3. Usando integración por partes, calcular $I=\displaystyle\int\sqrt{A+x^2}dx.$
    Nota. Se puede usar la igualdad $\displaystyle\int\dfrac{dx}{\sqrt{A+x^2}}=\log \left|x+\sqrt{A+x^2}\right|.$
  4. Calcular $\displaystyle\int \dfrac{x^2\;dx}{(x+1)^6}.$
    Sugerencia. Puede ser útil buscar una alternativa a la tradicional descomposición en suma de fracciones racionales simples.
  5. Calcular $\displaystyle\int\dfrac{mx+n}{x^2+px+q}dx$ siendo $m\neq 0$ y $x^2+px+q$ sin raíces reales.
  6. Se considera la integral $I=\displaystyle\int \frac{dx}{x(x^7+1)}.$
    $a)$ Esbozar una posible solución por descomposición en suma de fracciones simples.
    $b)$ Efectuar una adecuada manipulación en el numerador, que transforme $I$ en una integral inmediata.
  7. ¿Existe $\displaystyle\int\sqrt{-x^2+6x-10}\;dx$? Justificar la respuesta.
  8. Sea la integral de diferencial binomia $I=\displaystyle\int x^m(a+bx^n)^pdx.$ Demostrar que si $p\in\mathbb{Z},$ entonces la sustitución $x=t^s$ en donde $s$ es el mínimo común múltiplo de los denominadores de $m$ y $n,$ transforma $I$ en una integral racional en $t.$
  9. Sea la integral de diferencial binomia $I=\displaystyle\int x^m(a+bx^n)^pdx.$ Demostrar que si $(m+1)/n\in\mathbb{Z},$ entonces la sustitución $a+bx^n=t^s$ en donde $s$ es el denominador de la fracción $p,$ transforma $I$ en una integral racional en $t.$
  10. Sea la integral de diferencial binomia $I=\displaystyle\int x^m(a+bx^n)^pdx.$ Demostrar que si $p+\dfrac{m+1}{n}\in\mathbb{Z},$ entonces la sustitución $ax^{-n}+b=t^s$ en donde $s$ es el denominador de la fracción $p,$ transforma $I$ en una integral racional en $t.$
  11. Calcular $\displaystyle\int \cos^6x\;dx.$
  12. Calcular $I=\displaystyle\int \operatorname{sen}x\operatorname{sen}2x\operatorname{sen}3x\;dx.$
  13. Calcular $I=\displaystyle\int\frac{dx}{(a^2+b^2)-(a^2-b^2)\cos x}.$
    Solución
  1. $a)$ $\displaystyle\int \left(e^{ax}+e^{-ax}\right)^2dx=\displaystyle\int \left(e^{2ax}+2+e^{-2ax}\right)dx\\=\dfrac{e^{2ax}}{2a}+2x-\dfrac{e^{-2ax}}{2a}+C=2x+\dfrac{\operatorname{sh}2ax}{a}+C.$
    $b)$ $\displaystyle\int 2^x\;3^{2x}\;5^{3x}\;dx=\displaystyle\int 2^x\;9^{x}\;125^{x}\;dx=\displaystyle\int (2\cdot9\cdot 125)^x\;dx\\=\displaystyle\int 2250^x\;dx=\dfrac{2250^x}{\log 2250}+C.$
    $c)$ $\displaystyle\int \left(\tan x+\cot x\right)^2dx=\displaystyle\int \left(\tan^2x +2+\cot^2 x\right)dx\\=\displaystyle\int \left(\tan^2 x+1\right)dx+\displaystyle\int \left(\cot^2 x+1\right)dx\\=\displaystyle\int \sec^2x\;dx+\displaystyle\int \operatorname{cosec}^2x\;dx=\tan x-\cot x+C.$
  2. Ver apartado $(a)$ de Dos integrales por partes.
  3. Ver apartado $(b)$ de Dos integrales por partes.
  4. Podríamos usar el método tradicional, es decir, expresar:$$\dfrac{x^2}{(x+1)^6}=\frac{A_1}{x+1}+\frac{A_2}{(x+1)^2}+\cdots +\frac{A_6}{(x+1)^6},$$ etc. Ahora bien, en este caso es más conveniente usar la sustitución $t=x+1,$ con lo cual: $$\begin{aligned}
    &\int \dfrac{x^2\;dx}{(x+1)^6}=\int \dfrac{(t-1)^2}{t^6}dt=\int \dfrac{t^2-2t+1}{t^6}dt\\
    &=\int \frac{dt}{t^4}-2\int \frac{dt}{t^5}+\int \frac{dt}{t^6}=-\dfrac{1}{3t^3}+\frac{1}{2t^4}-\frac{1}{5t^5}+C.
    \end{aligned}$$ Por tanto, $$\displaystyle\int \dfrac{x^2\;dx}{(x+1)^6}=-\dfrac{1}{3(x+1)^3}+\frac{1}{2(x+1)^4}-\frac{1}{5(x+1)^5}+C.$$
  5. La derivada de $x^2+px+q$ es $2x+p.$ Expresemos: $$mx+n=\alpha (2x+p)+\beta.$$ Identificando coeficientes, $m=2\alpha$ y $n=\alpha p+\beta,$ por tanto $\alpha=m/2$ y $\beta=(2n-pm)/2.$ En consecuencia, $$\int\dfrac{mx+n}{x^2+px+q}dx=\frac{m}{2}\int\frac{2x+p}{x^2+px+q}dx+\frac{2n-pm}{2}\int\frac{dx}{x^2+px+q}.\quad (1)$$ Descompongamos $x^2+px+q$ es suma de cuadrados: $$x^2+px+q=1(x+h)^2+k=x^2+2hx+k^2+l.$$ Identificando coeficientes, queda $h=p/2$ y $l=(4q-p^2)/4,$ es decir: $$x^2+px+q=\left(x+\frac{p}{2}\right)^2+\frac{4q-p^2}{4}.$$ Nótese que al no tener $x^2+px+p$ raíces reales, $(4q-p^2)/4$ es positivo. Tenemos: $$\int\frac{dx}{x^2+px+q}=\int\frac{dx}{\left(x+\frac{p}{2}\right)^2+\frac{4q-p^2}{4}}$$ $$=\frac{4}{4q-p^2}\int\frac{dx}{\frac{4}{4q-p^2}\left(x+\frac{p}{2}\right)^2+1}$$ $$=\frac{4}{4q-p^2}\int\frac{dx}{\left(\frac{2}{\sqrt{4q-p^2}}\left(x+\frac{p}{2}\right)\right)^2+1}$$ $$=\frac{4}{4q-p^2}\frac{\sqrt{4q-p^2}}{2}\int\frac{\frac{2}{\sqrt{4q-p^2}}dx}{\left(\frac{2}{\sqrt{4q-p^2}}\left(x+\frac{p}{2}\right)\right)^2+1}$$ $$=\frac{2}{\sqrt{4q-p^2}}\arctan \frac{2x+p}{\sqrt{4q-p^2}}+C.$$ Usando ahora $(1):$ $$\int\dfrac{mx+n}{x^2+px+q}dx=\frac{m}{2}\log (x^2+px+q)+\frac{2n-pm}{\sqrt{4qp^2}}\arctan \frac{2x+p}{\sqrt{4q-p^2}}+C.$$
  6. $a)$ Una raíz de $g(x)=x^7+1$ es $x=-1.$ Dado que $g’(x)=7x^6$ es positiva tanto en $(-\infty,0)$ como en $(0.+\infty),$ es estrictamente creciente en estos intervalos. Como $g(-1)=0,$ se deduce que $x=-1$ es la única raíz de $g(x).$ Es además simple pues $g’(-1)\neq 0.$ Entonces, $g(x)$ se factoriza en la forma: $$g(x)=(x+1)q_1(x)q_2(x)q_3(x),$$ con los $q_i(x),$ polinomios de segundo grado sin raíces reales. Incluso en el caso de ser factible determinar los polinomios $q_i(x),$ esto nos conduciría a un largo proceso de descomposición en suma de fracciones simples para la función integrando.
    $b)$ Usemos la igualdad $1=(x^7+1)-x^7.$ Tenemos, $$\begin{aligned}&I=\int \frac{dx}{x(x^7+1)}=\int \frac{(x^7+1)-x^7}{x(x^7+1)}dx=\int\left(\frac{1}{x}-\frac{x^6}{x^7+1}\right)dx\\
    &=\log \lvert x\rvert-\frac{1}{7}\log\lvert x^7+1 \rvert+C.\end{aligned}$$
  7. Efectuando la descomposición $-x^2+6x-10=-(x+k)^2+l:$ $$-x^2+6x-10=-x^2-2kx-k^2+l.$$ Identificando coeficientes, obtenemos $-1=-1,$ $6=-2k$ y $-10=-k^2+l,$ es decir $k=-3$ y $l=-1.$ Por tanto, para todo $x\in\mathbb{R}:$ $$-x^2+6x-10=-(x-3)^2-1<0,$$ es decir $f(x)=\sqrt{-x^2+6x-10}$ no representa una función real de variable real, luego no existe $\displaystyle\int f(x)\;dx.$
  8. Ver apartado $(a)$ de Diferenciales binomias, casos de integrabilidad.
  9. Ver apartado $(b)$ de Diferenciales binomias, casos de integrabilidad.
  10. Ver apartado $(c)$ de Diferenciales binomias, casos de integrabilidad.
  11. Usando $\cos^2 \alpha=\dfrac{1+\cos 2\alpha}{2}: $ $$\int \cos^6x\;dx=\int (\cos^2x)^3\;dx=\int \left(\frac{1+\cos 2x}{2}\right)^2dx$$ $$=\frac{1}{8}\int (1+3\cos 2x+3\cos^22x+\cos^32x)\;dx$$ $$\frac{x}{8}+\frac{3\operatorname{sen}2x}{16}+\frac{3}{8}\int\frac{1+\cos 4x}{2}dx+\frac{1}{8}\int \cos^32x\;dx.$$ $$=\frac{x}{8}+\frac{3\operatorname{sen}2x}{16}+\frac{3x}{16}+\frac{3\operatorname{sen}4x}{64}+\frac{1}{8}\int \cos^32x\;dx.\quad (*)$$ Efectuando la sustitución $t=\operatorname{sen}2x,$ queda $dt=2\cos 2x\;dx,$ por tanto: $$\int \cos^32x\;dx=\int\cos^22x \cos 2x\;dx=\frac{1}{2}\int (1-t^2)\;dt $$ $$=\frac{t}{2}-\frac{t^3}{6}+C=\frac{\operatorname{sen}2x}{2}-\frac{\operatorname{sen}^32x}{6}+C.$$ Sustituyendo en $(*):$ $$\int \cos^6x\;dx=\frac{5x}{16}+\frac{\operatorname{sen}2x}{4}+\frac{3\operatorname{sen}4x}{64}-\frac{\operatorname{sen}^32x}{48}+C.$$
  12. Usando $\operatorname{sen}px\operatorname{sen} qx=\frac{1}{2}\left[\cos(p-q)x-\cos (p+q)x\right]:$ $$I=\int \operatorname{sen}x\operatorname{sen}2x\operatorname{sen}3x\;dx=\int\frac{1}{2}\left(\cos (-x)-\cos 3x\right)\operatorname{sen} 3x\;dx$$ $$=\frac{1}{2}\int\cos x \operatorname{sen} 3x\;dx-\frac{1}{2}\int\cos 3x \operatorname{sen} 3x\;dx.\quad (1)$$ Usando $ \operatorname{sen}px\cos qx=\frac{1}{2}\left[\operatorname{sen}(p+q)x+\operatorname{sen}(p-q)x\right]:$ $$\int\cos x \operatorname{sen} 3x\;dx=\frac{1}{2}\int (\operatorname{sen}4x+\operatorname{sen}2x)\;dx$$ $$=-\frac{\cos 4x}{8}-\frac{\cos 2x}{4}+C.\quad (2)$$ Por otra parte: $$\int\cos 3x \operatorname{sen} 3x\;dx=\int\frac{1}{2}\operatorname{sen} 6x\;dx=-\frac{\cos 6x}{12}+C.\quad (3)$$ Sustituyendo los resultados de $(2)$ y $(3)$ en $(1):$ $$I=\frac{\cos 6x}{24}-\frac{\cos 4x}{16}-\frac{\cos 2x}{8}+C.$$
  13. Efectuando la sustitución $t=\tan \dfrac{x}{2}:$ $$I=\int\frac{\dfrac{2\;dt}{1+t^2}}{a^2+b^2-(a^2-b^2)\dfrac{1-t^2}{1+t^2}}=\int \frac{2\;dt}{(a^2+b^2)(1+t^2)-(a^2-b^2)(1-t^2)}$$ $$=\int \dfrac{2\;dt}{a^2t^2+b^2}=\frac{2}{b^2}\int\frac{dt}{\left(\frac{a}{b}t\right)^2+1}=\frac{2}{b^2}\dfrac{b}{a}\int\frac{\frac{a}{b}\;dt}{\left(\frac{a}{b}t\right)^2+1}$$ $$=\frac{2}{ab}\arctan \frac {at}{b}+C=\frac{2}{ab}\arctan \left(\frac {a\tan\; (x/2)}{b}\right)+C.$$
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