Integrales indefinidas: problemas diversos

Proporcionamos problemas diversos sobre integración indefinida.

1 Calcular:
$ a)\;\displaystyle\int \left(e^{ax}+e^{-ax}\right)^2dx,\;(a\neq 0).$
$b)\;\displaystyle\int 2^x\;3^{2x}\;5^{3x}\;dx.$
$c)\;\displaystyle\int \left(\tan x+\cot x\right)^2dx.$

SOLUCIÓN

2 Usando  integración por partes, calcular $I=\displaystyle\int\sqrt{a^2-x^2}dx,\;(a\neq 0).$

SOLUCIÓN

3 Usando integración por partes, calcular $I=\displaystyle\int\sqrt{A+x^2}dx.$

Nota. Se puede usar la igualdad $\displaystyle\int\dfrac{dx}{\sqrt{A+x^2}}=\log \left|x+\sqrt{A+x^2}\right|.$

SOLUCIÓN

4 Calcular $\displaystyle\int \dfrac{x^2\;dx}{(x+1)^6}.$
Sugerencia. Puede ser útil buscar una alternativa a la tradicional descomposición en suma de fracciones racionales simples.

SOLUCIÓN

5 Calcular $\displaystyle\int\dfrac{mx+n}{x^2+px+q}dx$ siendo $m\neq 0$ y $x^2+px+q$ sin raíces reales.

SOLUCIÓN

6 Se considera la integral $I=\displaystyle\int \frac{dx}{x(x^7+1)}.$
$a)$ Esbozar una posible solución por descomposición en suma de fracciones simples.
$b)$ Efectuar una adecuada manipulación en el numerador, que transforme $I$ en una integral inmediata.

SOLUCIÓN

7 ¿ Existe $\displaystyle\int\sqrt{-x^2+6x-10}\;dx$? Justificar la respuesta.

SOLUCIÓN

8  Sea la integral de diferencial binomia $I=\displaystyle\int x^m(a+bx^n)^pdx.$ Demostrar que si $p\in\mathbb{Z},$ entonces la sustitución $x=t^s$ en donde $s$ es el mínimo común múltiplo de los denominadores de $m$ y $n,$ transforma $I$ en una integral racional en $t.$

SOLUCIÓN

9  Sea la integral de diferencial binomia $I=\displaystyle\int x^m(a+bx^n)^pdx.$ Demostrar que si $(m+1)/n\in\mathbb{Z},$ entonces la sustitución $a+bx^n=t^s$ en donde $s$ es el denominador de la fracción $p,$ transforma $I$ en una integral racional en $t.$

SOLUCIÓN

10  Sea la integral de diferencial binomia $I=\displaystyle\int x^m(a+bx^n)^pdx.$ Demostrar que si $p+\dfrac{m+1}{n}\in\mathbb{Z},$ entonces la sustitución $ax^{-n}+b=t^s$ en donde $s$ es el denominador de la fracción $p,$ transforma $I$ en una integral racional en $t.$

SOLUCIÓN

11 Calcular $\displaystyle\int \cos^6x\;dx.$

SOLUCIÓN

12 Calcular $I=\displaystyle\int \operatorname{sen}x\operatorname{sen}2x\operatorname{sen}3x\;dx.$

SOLUCIÓN

13 Calcular $I=\displaystyle\int\frac{dx}{(a^2+b^2)-(a^2-b^2)\cos x}.$

SOLUCIÓN
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