Base de un espacio vectorial

Proporcionamos ejercicios sobre base de un espacio vectorial.

TEORÍA

1 Demostrar que los vectores $u_1=(2,3)$ y $u_2=(-7,1)$ forman un base de $\mathbb{R}^2.$

SOLUCIÓN

2 Demostrar que $B=\{u_1,u_2,u_3\}$ es base del espacio vectorial $\mathcal{S}$ de las matrices cuadradas, reales y simétricas de orden $2,$ siendo: $$u_1=\begin{bmatrix}{1}&{0}\\{0}&{0}\end{bmatrix},\quad u_2=\begin{bmatrix}{0}&{1}\\{1}&{0}\end{bmatrix},\quad u_3=\begin{bmatrix}{0}&{0}\\{0}&{1}\end{bmatrix}.$$

SOLUCIÓN

3 Demostrar que $B=\{u_1,u_2,u_3\}$ es base del espacio vectorial $\mathcal{A}$ de las matrices cuadradas, reales y antisimétricas de orden $3,$ siendo: $$u_1=\begin{bmatrix}{0}&{-1}&{0}\\{1}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}\end{bmatrix}\;,\; u_2=\begin{bmatrix}{0}&{0}&{-1}\\{0}&{0}&{0}\\{1}&{0}&{0}\end{bmatrix}\;,\; u_3=\begin{bmatrix}{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{-1}\\{0}&{1}&{0}\end{bmatrix} \;.$$

SOLUCIÓN

4  Sea $\mathbb{K}$ un cuerpo. Demostrar que: $$B=\{(1,0,\ldots,0),\;(0,1,\ldots,0),\;\ldots,\;(0,0,\ldots,1)\}$$ es base de $\mathbb{K}^n$ (base canónica de $\mathbb{K}^n$).

SOLUCIÓN

5  Demostrar que $$\begin{aligned}B=&\{\;\begin{bmatrix}1 & 0 & \ldots & 0 & 0\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & 0\\ \vdots&&&&\vdots \\0 & 0 &\ldots & 0& 0\\ 0 & 0 &\ldots & 0 & 0\end{bmatrix}\;,\;\begin{bmatrix}0 & 1 & \ldots & 0 & 0\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & 0\\ \vdots&&&&\vdots \\0 & 0 &\ldots & 0& 0\\ 0 & 0 &\ldots & 0 & 0\end{bmatrix}\;,\ldots\\
&\ldots,\;\begin{bmatrix}0 & 0 & \ldots & 0 & 0\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & 0\\ \vdots&&&&\vdots \\0 & 0 &\ldots & 0& 0\\ 0 & 0 &\ldots & 1 & 0\end{bmatrix}\;,\;\begin{bmatrix}0 & 0 & \ldots & 0 & 0\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & 0\\ \vdots&&&&\vdots \\0 & 0 &\ldots & 0& 0\\ 0 & 0 &\ldots & 0 & 1\end{bmatrix}\;\}
\end{aligned}$$ es base del espacio vectorial $\mathbb{K}^{m\times n}$ (base canónica de $\mathbb{K}^{m\times n}$).

SOLUCIÓN

6 Demostrar que $B=\{1,x,x^2,\ldots,x^n\}$ es base del espacio vectorial $\mathbb{R}_n[x]$ de los polinomios de $\mathbb{R}[x]$ de grado $\leq n.$  (base canónica de $\mathbb{R}_n[x]$).

SOLUCIÓN

7 $a)$ Hallar una base de $\mathbb{C}^n$ como espacio vectorial sobre $\mathbb{C}.$
$b)$ Hallar una base de $\mathbb{C}^n$ como espacio vectorial sobre $\mathbb{R}.$

SOLUCIÓN

8 Demostrar que en $\mathbb{R}[x]$ no existen bases con un número finito de vectores.

SOLUCIÓN

9 Demostrar que $B=\{1,x,x^2,\ldots,x^n,\ldots\}$ es base de $\mathbb{R}[x].$

SOLUCIÓN

10 Demostrar que una base de $\mathbb{C}$ sobre $\mathbb{R}$ es $B=\{1,i\}.$

SOLUCIÓN

11 Sobre el cuerpo de los números reales se consideran las matrices de la forma: $$\begin{bmatrix}{\lambda}&{-\mu}\\{3a\lambda}&{-2\mu+b\lambda}\end{bmatrix}$$ con $a,b$ constantes reales y $\lambda,\mu$ parámetros reales.
$a)$ ¿Es este conjunto un subespacio vectorial?
$b)$ En caso afirmativo, determinar una base.

SOLUCIÓN

$a)$ El conjunto $\mathcal{M}$ dado se puede escribir en la forma: $$\mathcal{M}=\{\;\lambda \begin{bmatrix}{1}&{0}\\{3a}&{b}\end{bmatrix}+\mu \begin{bmatrix}{0}&{-1}\\{0}&{-2}\end{bmatrix}\text{ con }\lambda,\mu\in\mathbb{R}\;\},$$ por tanto $\mathcal{M}=L[S],$ siendo $S$ el conjunto formado por las dos matrices anteriores, y todo conjunto de la forma $L[S],$ sabemos que es subespacio.

$b)$ Las dos matrices anteriores generan a $\mathcal{M}.$ Además, son linealmente independientes pues de la igualdad $$\begin{aligned}&\lambda_1 \begin{bmatrix}{1}&{0}\\{3a}&{b}\end{bmatrix}+\lambda_2 \begin{bmatrix}{0}&{-1}\\{0}&{-2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{0}&{0}\\{0}&{0}\end{bmatrix}\end{aligned}$$se deduce inmediatamente que $\lambda_1=\lambda_2=0.$ por tanto, una base de $\mathcal{M}$ es $$B=\{\;\begin{bmatrix}{1}&{0}\\{3a}&{b}\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}{0}&{-1}\\{0}&{-2}\end{bmatrix}\;\}.$$

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