Base de un espacio vectorial

Proporcionamos ejercicios sobre base de un espacio vectorial.

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. Demostrar que los vectores $u_1=(2,3)$ y $u_2=(-7,1)$ forman un base de $\mathbb{R}^2.$
  2. Demostrar que $B=\{u_1,u_2,u_3\}$ es base del espacio vectorial $\mathcal{S}$ de las matrices cuadradas, reales y simétricas de orden $2,$ siendo: $$u_1=\begin{bmatrix}{1}&{0}\\{0}&{0}\end{bmatrix},\quad u_2=\begin{bmatrix}{0}&{1}\\{1}&{0}\end{bmatrix},\quad u_3=\begin{bmatrix}{0}&{0}\\{0}&{1}\end{bmatrix}.$$
  3. Demostrar que $B=\{u_1,u_2,u_3\}$ es base del espacio vectorial $\mathcal{A}$ de las matrices cuadradas, reales y antisimétricas de orden $3,$ siendo: $$u_1=\begin{bmatrix}{0}&{-1}&{0}\\{1}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}\end{bmatrix}\;,\; u_2=\begin{bmatrix}{0}&{0}&{-1}\\{0}&{0}&{0}\\{1}&{0}&{0}\end{bmatrix}\;,\; u_3=\begin{bmatrix}{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{-1}\\{0}&{1}&{0}\end{bmatrix} \;.$$
  4. Sea $\mathbb{K}$ un cuerpo. Demostrar que: $$B=\{(1,0,\ldots,0),\;(0,1,\ldots,0),\;\ldots,\;(0,0,\ldots,1)\}$$ es base de $\mathbb{K}^n$ (base canónica de $\mathbb{K}^n$).
  5. Demostrar que $$\begin{aligned}B=&\{\;\begin{bmatrix}1 & 0 & \ldots & 0 & 0\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & 0\\ \vdots&&&&\vdots \\0 & 0 &\ldots & 0& 0\\ 0 & 0 &\ldots & 0 & 0\end{bmatrix}\;,\;\begin{bmatrix}0 & 1 & \ldots & 0 & 0\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & 0\\ \vdots&&&&\vdots \\0 & 0 &\ldots & 0& 0\\ 0 & 0 &\ldots & 0 & 0\end{bmatrix}\;,\ldots\\
    &\ldots,\;\begin{bmatrix}0 & 0 & \ldots & 0 & 0\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & 0\\ \vdots&&&&\vdots \\0 & 0 &\ldots & 0& 0\\ 0 & 0 &\ldots & 1 & 0\end{bmatrix}\;,\;\begin{bmatrix}0 & 0 & \ldots & 0 & 0\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & 0\\ \vdots&&&&\vdots \\0 & 0 &\ldots & 0& 0\\ 0 & 0 &\ldots & 0 & 1\end{bmatrix}\;\}
    \end{aligned}$$ es base del espacio vectorial $\mathbb{K}^{m\times n}$ (base canónica de $\mathbb{K}^{m\times n}$).
  6. Demostrar que $B=\{1,x,x^2,\ldots,x^n\}$ es base del espacio vectorial $\mathbb{R}_n[x]$ de los polinomios de $\mathbb{R}[x]$ de grado $\leq n.$ (base canónica de $\mathbb{R}_n[x]$).
  7. $a)$ Hallar una base de $\mathbb{C}^n$ como espacio vectorial sobre $\mathbb{C}.$
    $b)$ Hallar una base de $\mathbb{C}^n$ como espacio vectorial sobre $\mathbb{R}.$
  8. Demostrar que en $\mathbb{R}[x]$ no existen bases con un número finito de vectores.
  9. Demostrar que $B=\{1,x,x^2,\ldots,x^n,\ldots\}$ es base de $\mathbb{R}[x].$
  10. Demostrar que una base de $\mathbb{C}$ sobre $\mathbb{R}$ es $B=\{1,i\}.$
  11. Sobre el cuerpo de los números reales se consideran las matrices de la forma: $$\begin{bmatrix}{\lambda}&{-\mu}\\{3a\lambda}&{-2\mu+b\lambda}\end{bmatrix}$$ con $a,b$ constantes reales y $\lambda,\mu$ parámetros reales.
    $a)$ ¿Es este conjunto un subespacio vectorial?
    $b)$ En caso afirmativo, determinar una base.
    Solución
  1. $i)$ $B$ es sistema libre. Tenemos: $$\lambda_1(2,3)+\lambda_2(-7,1)=(0,0)\Rightarrow \left \{ \begin{matrix} 2\lambda_1 -7\lambda_2=0\\3\lambda_1+\lambda_2=0.\end{matrix}\right.$$ Resolviendo el sistema, obtenemos la única solución $\lambda_1=\lambda_2=0,$ es decir $u_1$ y $u_2$ son linealmente independientes.
    $ii)$ $B$ es sistema generador. Sea $(x_1,x_2)\in \mathbb{R}^2.$ Entonces, $$(x_1,x_2)=\lambda_1(2,3)+\lambda_2(-7,1)\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} 2\lambda_1 -7\lambda_2=x_1\\3\lambda_1+\lambda_2=x_2.\end{matrix}\right.$$ Escalonando el sistema anterior queda: $$\left \{ \begin{matrix} 2\lambda_1 -7\lambda_2=x_1\\23\lambda_2=2x_2-3x_1,\end{matrix}\right.$$que claramente tiene solución en $\mathbb{R}$ para todo $(x_1,x_2)\in \mathbb{R}^2,$ es decir $\{u_1,u_2\}$ genera a $\mathbb{R}^2.$ Concluimos que $B$ es base del espacio vectorial $\mathbb{R}^2.$
  2. $i)$ $B$ es sistema libre. Los vectores dados pertenecen a $\mathcal{S}.$Tenemos: $$\begin{aligned}\lambda_1u_1+\lambda_2u_2+\lambda_3u_3=0&\Rightarrow \begin{bmatrix}{\lambda_1}&{\lambda_2}\\{\lambda_2}&{\lambda_3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{0}&{0}\\{0}&{0}\end{bmatrix}\\
    &\Rightarrow\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0.\end{aligned}$$ $ii)$ $B$ es sistema generador. Toda matriz simétrica de $\mathbb{R}^{2\times 2}$ es de la forma: $$ \begin{bmatrix}{a}&{b}\\{b}&{c}\end{bmatrix}\text{ con }a,b,c\in\mathbb{R}.$$ Entonces, $$\begin{bmatrix}{a}&{b}\\{b}&{c}\end{bmatrix}=a\begin{bmatrix}{1}&{0}\\{0}&{0}\end{bmatrix}+b\begin{bmatrix}{0}&{1}\\{1}&{0}\end{bmatrix}+c\begin{bmatrix}{0}&{0}\\{0}&{1}\end{bmatrix},$$ lo cual implica que $B$ es sistema generador de $\mathcal{S}.$ Concluimos que $B$ es base del espacio vectorial $\mathcal{S}.$
  3. $i)$ $B$ es sistema libre. Los vectores dados pertenecen a $\mathcal{A}.$Tenemos: $$\begin{aligned}\lambda_1u_1+\lambda_2u_2+\lambda_3u_3=0&\Rightarrow \begin{bmatrix}{0}&{-\lambda_1}&{-\lambda_2}\\{\lambda_1}&{0}&{-\lambda_3}\\{\lambda_2}&{\lambda_3}&{0}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}\end{bmatrix}\\
    &\Rightarrow\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0.\end{aligned}$$ $ii)$ $B$ es sistema generador. Toda matriz antisimétrica de $\mathbb{R}^{3\times 3}$ es de la forma: $$ \begin{bmatrix}{0}&{-a}&{-b}\\{a}&{0}&{-c}\\{b}&{c}&{0}\end{bmatrix}\text{ con }a,b,c\in\mathbb{R}.$$ Entonces, $$\begin{bmatrix}{0}&{-a}&{-b}\\{a}&{0}&{-c}\\{b}&{c}&{0}\end{bmatrix}=a\begin{bmatrix}{0}&{-1}&{0}\\{1}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}\end{bmatrix}+b\begin{bmatrix}{0}&{0}&{-1}\\{0}&{0}&{0}\\{1}&{0}&{0}\end{bmatrix}+c\begin{bmatrix}{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{-1}\\{0}&{1}&{0}\end{bmatrix}\;, $$ lo cual implica que $B$ es sistema generador de $\mathcal{A}.$ Concluimos que $B$ es base del espacio vectorial $\mathcal{A}.$
  4. $i)$ $B$ es sistema libre. En efecto, tenemos: $$\begin{aligned}& \lambda_1(1,0,\ldots,0)+\lambda_2(0,1,\ldots,0)+\ldots+\lambda_n(0,0,\ldots,1)=(0,0,\ldots,0)\\
    &\Rightarrow (\lambda_1,\lambda_2\ldots,\lambda_n)=(0,0,\ldots,0)\Rightarrow \lambda_1=\lambda_2=\ldots=\lambda_n=0.
    \end{aligned}$$ $ii)$ $B$ es sistema generador. Todo vector de $\mathbb{K}^n$ es de la forma $(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ con los $x_i$ elementos de $\mathbb{K}$. Entonces, $$(x_1,x_2,\ldots,x_n)=x_1(1,0,\ldots,0)+x_2(0,1,\ldots,0)+\ldots+x_n(0,0,\ldots,1),$$ lo cual prueba que $B$ es sistema generador. Concluimos que $B$ es base del espacio vectorial $\mathbb{K}^n.$
  5. $i)$ $B$ es sistema libre. Llamemos $A_{ij}$ ($i=1,\ldots,m,$ $j=1,\ldots,n$) a la matriz de $\mathbb{K}^{m\times n}$ tal que el elemento $a_{ij}$ es $1$ y los restantes elementos son nulos. Entonces, $B$ es $B=\{A_{11},A_{12},\ldots,A_{m,\;n-1},A_{mn}\}\;(mn\text{ matrices}).$ Nótese que la igualdad $\lambda_{11}A_{11}+\lambda_{12}A_{12}+\ldots+\lambda_{m,\;n-1}A_{m,\;n-1}+\lambda_{mn}A_{mn}=0$ implica: $$ \begin{bmatrix}\lambda_{11} & \lambda_{12} & \ldots & \lambda_{1,\;n-1} & \lambda_{1n}\\ \lambda_{21} & \lambda_{22} & \ldots & \lambda_{2,\;n-1} & \lambda_{2n}\\ \vdots&&&&\vdots \\\lambda_{m-1,\;1} & \lambda_{m-1,\;2} &\ldots & \lambda_{m-1,\;n-1}& \lambda_{m-1,\,n}\\ \lambda_{m1} & \lambda_{m2} &\ldots & \lambda_{m,\;n-1} & \lambda_{mn}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 0 & \ldots & 0 & 0\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & 0\\ \vdots&&&&\vdots \\0 & 0 &\ldots & 0& 0\\ 0 & 0 &\ldots & 0 & 0\end{bmatrix},$$ de lo que se deduce que todos los escalares $\lambda_{ij}$ son nulos.
    $ii)$ $B$ es sistema generador. Toda matriz $A$ de $\mathbb{K}^{m\times n}$ es de la forma $$ A=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1,\;n-1} & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2,\;n-1} & a_{2n}\\ \vdots&&&&\vdots \\a_{m-1,\;1} & a_{m-1,\;2} &\ldots & a_{m-1,\;n-1}& a_{m-1,\,n}\\ a_{m1} & a_{m2} &\ldots & a_{m,\;n-1} & a_{mn}\end{bmatrix},$$ con los $a_{ij}$ elementos de $\mathbb{K}.$ Entonces, $A$ se puede expresar en la forma: $$A=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+\ldots+a_{m,\;n-1}A_{m,\;n-1}+a_{mn}A_{mn},$$ luego $B$ genera $\mathbb{K}^{m\times n}.$ Concluimos que $B$ es base de $\mathbb{K}^{m\times n}.$
  6. $i)$ $B$ es sistema libre. Usando el principio de identidad de polinomios, de la igualdad $\lambda_0\cdot 1+\lambda_1x+\lambda_2x^2+\ldots+\lambda_nx^n=0$ se deduce $\lambda_0=\lambda_1=\ldots=\lambda_n=0.$
    $ii)$ $B$ es sistema generador. Todo vector de $\mathbb{R}_n[x]$ es de la forma $p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_nx^n.$ Entonces, $$p(x)=a_0\cdot 1+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_nx^n,$$ lo cual implica que $B$ es sistema generador de $\mathbb{R}_n[x].$ Concluimos que $B$ es base de $\mathbb{R}_n[x].$
  7. $a)$ Elijamos el sistema de $\mathbb{C}^n:$ $$B=\{u_1=(1,0,\ldots,0),\;u_2=(0,1,\ldots,0),\ldots,u_n=(0,0,\ldots,1)\}.$$ De la igualdad $\lambda_1 u_1+\ldots+\lambda_n u_n=0$ con $\lambda_i\in\mathbb{C},$ claramente se deduce $\lambda_1=\ldots=\lambda_n=0,$ luego $B$ es sistema libre. Por otra parte, todo vector de $\mathbb{C}^n$ es de la forma $z=(z_1,\ldots,z_n)$ con los $z_i\in\mathbb{C}.$ Entonces, $z=z_1u_1+\ldots+z_nu_n,$ lo cual implica que $B$ genera a $\mathbb{C}^n$. Concluimos que $B$ es base de $\mathbb{C}^n$ como espacio vectorial sobre $\mathbb{C}.$
    $b)$ Elijamos el sistema de $\mathbb{C}^n:$ $B’=\{u_1,\ldots,u_n,iu_1,\ldots,iu_n\}.$
    La igualdad $\lambda_1 u_1+\ldots+\lambda_n u_n+\mu_1(i u_1)+\ldots+\mu_n (iu_n)=0$ con $\lambda_i,\mu_i\in\mathbb{R}$ equivale a: $$(\lambda_1+i\mu_1,\ldots,\lambda_n+i\mu_n)=(0,\ldots,0).$$ Igualando componentes y partes real e imaginaria, deducimos $\lambda_i=\mu_i$ para todo $i,$ por tanto $B’$ es sistema libre. Por otra parte, todo vector de $\mathbb{C}^n$ es de la forma $$z=(a_1+ib_1,\ldots,a_n+ib_n)\text{ con } a_i,b_i\in\mathbb{R}.$$ Entonces, $z=a_1u_1+\ldots+a_nu_n+b_1(iu_1)+\ldots+b_n(iu_n)$ lo cual implica que $B’$ genera a $\mathbb{C}^n$. Concluimos que $B’$ es base de $\mathbb{C}^n$ como espacio vectorial sobre $\mathbb{R}.$
  8. Supongamos que existiera un base $B=\{p_1(x),\ldots,p_n(x)\}$ de $\mathbb{R}[x]$ formada por $n$ polinomios. Si $m$ es el mayor de los grados de los polinomios de $B,$ entonces $$x^{m+1}\neq \lambda_1p_1(x)+\ldots+\lambda_np_n(x)$$ para cualquier elección de los escalares $\lambda_i$ (el segundo miembro tiene grado $\leq m$). Es decir, $B$ no sería sistema generador (en contradicción con la hipótesis).
  9. Vimos que $B$ genera a $\mathbb{R}[x].$ Veamos ahora que $B$ es sistema libre. En efecto, sea $\{x^{k_1},\ldots,x^{k_m}\}$ un subconjunto finito de $B.$ Dado que los exponentes $k_i$ son distintos dos a dos, de la igualdad $$\lambda_1x^{k_1}+\ldots+\lambda_mx^{k_m}=0,$$ se deduce por el principio de igualdad de polinomios que $\lambda_i=0$ para todo $i=1,\ldots,m.$ Concluimos que $B$ es base de $\mathbb{R}[x].$
  10. En efecto, todo $z\in\mathbb{C}$ es de la forma $x1+iy$ con $x,y\in \mathbb{R},$ luego $B$ es sistema generador. Por otra parte, $B$ es sistema libre pues $\lambda_1\cdot 1+\lambda_2i=0$ con $\lambda_1,\lambda_2\in\mathbb{R}$ implica $\lambda_1$ $=$ $\lambda_2$ $=0.$
  11. $a)$ El conjunto $\mathcal{M}$ dado se puede escribir en la forma: $$\mathcal{M}=\{\;\lambda \begin{bmatrix}{1}&{0}\\{3a}&{b}\end{bmatrix}+\mu \begin{bmatrix}{0}&{-1}\\{0}&{-2}\end{bmatrix}\text{ con }\lambda,\mu\in\mathbb{R}\;\},$$ por tanto $\mathcal{M}=L[S],$ siendo $S$ el conjunto formado por las dos matrices anteriores, y todo conjunto de la forma $L[S],$ sabemos que es subespacio.
    $b)$ Las dos matrices anteriores generan a $\mathcal{M}.$ Además, son linealmente independientes pues de la igualdad $$\begin{aligned}&\lambda_1 \begin{bmatrix}{1}&{0}\\{3a}&{b}\end{bmatrix}+\lambda_2 \begin{bmatrix}{0}&{-1}\\{0}&{-2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{0}&{0}\\{0}&{0}\end{bmatrix}\end{aligned}$$se deduce inmediatamente que $\lambda_1=\lambda_2=0.$ por tanto, una base de $\mathcal{M}$ es $$B=\{\;\begin{bmatrix}{1}&{0}\\{3a}&{b}\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}{0}&{-1}\\{0}&{-2}\end{bmatrix}\;\}.$$
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