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Archivo de la etiqueta: base
Teorema de la base de Hilbert
Demostramos el teorema de la base de Hilbert y como corolario, que para todo cuerpo $k$, el anillo de polinomios $k[x_1,\ldots,x_n]$ es noetheriano. Teorema (de la base de Hilbert). Sea $A$ anillo conmutativo y unitario. Entonces, $$A\text{ es noetheriano}\Rightarrow A[x]\text{ … Sigue leyendo
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Formas bilineales: cambio de base
Proporcionamos ejercicios de cambio de base asociado a las formas bilineales. Enunciado La matriz de una forma bilineal $f=E\times F\to\mathbb{K}$ en las bases $B_E=\{u_1,u_2\}$ y $B_F=\{v_1,v_2,v_3\}$ es $$A=\begin{bmatrix}{2}&{-1}&{1}\\{3}&{4}&{1}\end{bmatrix}.$$ Hallar la matriz de $f$ en las nuevas bases $$B’_E=\{u_1-u_2,u_1+u_2\},\quad B’_F=\{v_1,v_1+v_2,v_1+v_2+v_3\}.$$ La … Sigue leyendo
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Etiquetado base, bilineales, cambio, formas
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Teorema de la base incompleta
Damos ejemplos de aplicación del teorema de la base incompleta. Enunciado Dados los vectores de $\mathbb{R}^4,$ $v_1=(2,-1,3,4)$ y $v_2=(0,5,1,-1),$ completarlos con otros dos para formar una base de $\mathbb{R}^4.$ Sea $B=\{u_1,\ldots,u_r,u_{r+1},\ldots,u_n\}$ base de un espacio vectorial $E.$ Demostrar que $$E=\langle … Sigue leyendo
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Cambio de base
Proporcionamos ejercicios sobre cambio de base en espacios vectoriales. Enunciado Sean $B=\{u_1,u_2\}$ y $B’=\{u’_1,u’_2\},$ dos bases de un espacio vectorial real $E$ de dimensión $2$ tales que $u’_1=u_1-2u_2,$ $u’_2=3u_1+4u_2.$ Se pide hallar: $a)$ La matriz de cambio o de paso … Sigue leyendo
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Etiquetado base, cambio, espacios, vecroriales
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Existencia de base en todo espacio vectorial
Demostramos la existencia de base en todo espacio vectorial. Enunciado Sea $E$ un espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb{K}$ y $S$ un subconjunto de $E$ linealmente independiente. Entonces, existe una base $B$ de $E$ que contiene a $S.$ Demostrar que … Sigue leyendo
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