La función de Thomae es integrable Riemann en [0,1]

Demostramos que la función de Thomae es integrable Riemann en el intervalo $[0,1].$
Enunciado
Se define la función de Thomae como la función $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tal que $$f(x) =
\begin{cases}
1 &\text{si }x=0\\
\dfrac{1}{q} &\text{si }x\text{ is racional, }x=\dfrac{p}{q},\; q > 0\text{ y mcd }(p,q)=1\\
0 &\text{si }x\text{ is irracional.}
\end{cases}$$ Demostrar que es integrable Riemann en $[0,1].$
Solución
Veamos que la integral inferior $\underline{\int_{[0,1]}}f(x)\;dx$ es nula. En efecto, para todo $x\in[0,1]$ se verifica $f(x)\ge 0$ y para todo $[a,b]\subset [0,1]$ existe $x\in[a,b]$ tal que $x\notin\mathbb{Q},$ luego para todo $[a,b]\subset [0,1]$ es $$m=\inf\{f(x):x\in [a,b]\}=0.$$ Esto implica que para toda partición $P$ de $[0,1]$ se verifica $I(P,f)=0$ y por tanto $$\underline{\int_{[0,1]}}f(x)\;dx=\sup\{I(P,f):P\in\mathcal{P}[0,1]\}=0.$$ Veamos que la integral superior $\overline{\int_{[0,1]}}f(x)\;dx$ es nula. Para demostrarlo, consideremos para todo $n$ entero positivo la función $f_n:[0,1]\to \mathbb{R}$
$$f_n(x) =
\begin{cases}
\;1 &\text{si }x=0\\
\dfrac{1}{q} &\text{si }x\text{ is racional, }x=\dfrac{p}{q},\; q > 0\text{, mcd }(p,q)=1,\;q<n\\
\dfrac{1}{n} &\text{ en caso contrario. }
\end{cases}$$ La función $f_n$ es integrable Riemann en $[0,1]$ porque es continua salvo en un número finito de puntos. Para todo $x$ irracional del intervalo $[0,1]$ se verifica $f_n(x)=1/n,$ luego $I(P,f_n)=1/n$ para toda partición $P$ de $[0,1]$ y en consecuencia $$\underline{\int_{[0,1]}}f(x)\;dx=1/n=\overline{\int_{[0,1]}}f(x)\;dx.$$ Además, para todo $x\in[0,1]$ y para todo $n,$ $f_n(x)\ge f(x),$ con lo cual $S(P,f_n)\ge S(P,f)$ para toda partición $P$ de $[0,1].$ Se deduce para todo $n$ que $$\overline{\int_{[0,1]}}f_n(x)\;dx=\inf\{S(P,f_n):P\in\mathcal{P}[0,1]\}$$ $$\ge \inf\{S(P,f):P\in\mathcal{P}[0,1]\}=\overline{\int_{[0,1]}}f(x)\;dx.$$ Es deir, para todo $n,$ $$0\le \overline{\int_{[0,1]}}f(x)\;dx\le \frac{1}{n},$$ y tomando límites cuando $n\to +\infty$ queda $\overline{\int_{[0,1]}}f(x)\;dx=0.$ Concluimos pues que la función $f$ de Thomae es integrable Riemann en $[0,1]$ y que $\int_{[0,1]}f(x)\;dx=0.$

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