Integración de funciones trigonométricas (2)

Publicada el mayo 2, 2014 por Fernando Revilla
RESUMEN TEÓRICO
  • Se consideran las integrales: $$(i)\;\int \tan^mx\;dx.\;\; (ii)\int\cot^mx\;dx.\;\;(m\text{ entero positivo}).$$
  • La integral $(i)$ se pueden reducir sucesivamente de grado, usando la fórmula de trigonometría $\tan^2x=\sec^2x-1:$ $$\int \tan^mx\;dx=\int \tan^{m-2}x\;\tan^2x\;dx=\int\tan^{m-2}x\;(\sec^2x-1)\;dx$$ $$=\int\tan^{m-2}x\;\sec^2x\;dx-\int\tan^{m-2}x\;dx.$$  La integral $\displaystyle\int\tan^{m-2}x\;\sec^2x\;dx$ se convierte en inmediata con la sustitución $t=\tan x$ y la integral $\displaystyle\int\tan^{m-2}x\;dx$ es la de partida, con el exponente rebajado.
  • Para la integral del tipo $(ii)$ se procede de la misma manera, usando la fórmula de trigonometría $\cot^2x=\csc^2x-1.$
    Enunciado
  1. Calcular $I=\displaystyle\int\tan^{4}x\;dx.$
  2. Calcular $I=\displaystyle\int\tan^{5}x\;dx.$
  3. Calcular $I=\displaystyle\int\cot^{4}x\;dx.$
  4. Calcular $I=\displaystyle\int\tan^{2}7x\;dx.$
    Solución
  1. Tenemos: $$I=\int \tan^4x\;dx=\int \tan^{2}x\;\tan^2x\;dx=\int\tan^{2}x\;(\sec^2x-1)\;dx$$ $$=\int\tan^{2}x\;\sec^2x\;dx-\int\tan^{2}x\;dx.$$ Efectuando el cambio $t=\tan x,$ $dt=\sec^2x,$ por tanto $$\int\tan^{2}x\;\sec^2x\;dx=\int t^2dt=\frac{t^3}{3}+C=\frac{\tan^3x}{3}+C.$$ Por otra parte: $$\int \tan^{2}x\;dx=\int(\sec^2x-1)\;dx=\tan x-x+C.$$ En consecuencia, $$I=\frac{\tan^3x}{3}-\tan x+x+C.$$
  2. Tenemos: $$I=\int \tan^5x\;dx=\int \tan^{3}x\;\tan^2x\;dx=\int\tan^{3}x\;(\sec^2x-1)\;dx$$ $$=\int\tan^{3}x\;\sec^2x\;dx-\int\tan^{3}x\;dx.$$ Efectuando el cambio $t=\tan x,$ $dt=\sec^2x,$ por tanto $$\int\tan^{3}x\;\sec^2x\;dx=\int t^3dt=\frac{t^4}{4}+C=\frac{\tan^4x}{4}+C.$$ Por otra parte: $$\int \tan^{3}x\;dx=\int\tan x\;\tan^2x\;dx=\int\tan x\;(\sec^2x-1)\;dx$$ $$=\int\tan x\;\sec^2x\;dx-\int\tan x\;dx=\frac{\tan^2x}{2}-\log \lvert \cos x\rvert+C.$$ En consecuencia, $$I=\frac{\tan^4x}{4}-\frac{\tan^2x}{2}+\log \lvert \cos x\rvert+C.$$
  3. Tenemos: $$I=\int \cot^4x\;dx=\int \cot^{2}x\;\cot^2x\;dx=\int\cot^{2}x\;(\csc^2x-1)\;dx$$ $$=\int\cot^{2}x\;\csc^2x\;dx-\int\cot^{2}x\;dx.$$ Efectuando el cambio $t=\cot x,$ $dt=-\csc^2x,$ por tanto $$\int\cot^{2}x\;\csc^2x\;dx=-\int t^2dt=-\frac{t^3}{3}+C=-\frac{\cot^3x}{3}+C.$$ Por otra parte: $$\int \cot^{2}x\;dx=\int(\csc^2x-1)\;dx=-\cot x-x+C.$$ En consecuencia, $$I=-\frac{\cot^3x}{3}+\cot x+x+C.$$
  4. Tenemos: $$I=\int\tan^{2}7x\;dx=\int (\sec^27x-1)\:dx=\frac{1}{7}\tan 7x-x+C.$$
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