Sistema autónomo con paso a polares

Enunciado
Resolver el sistema diferencial

$\left \{ \begin{matrix}x’=-y-x^2y\\y’=x-xy^2\end{matrix}\right.$

con la condición inicial $x(0)=1/2,\;y(0)=0$. (Indicación: Pasar a coordenadas polares).

(Propuesto en examen, Amp. Mat., ETS de Ing. de Montes, UPM).

Solución
De $\rho^2=x^2+y^2$ y derivando respecto de la variable independiente $t:$

$2\rho\rho’=2xx’+2yy’\mbox{ o bien }\rho\rho’=xx’+yy’. \qquad (1)$

De $\theta=\arctan (y/x)$ y derivando respecto de la variable independiente $t:$

$\theta’=\displaystyle\frac{1}{1+\dfrac{y^2}{x^2}}\;\displaystyle\frac{y’x-x’y}{x^2}=\displaystyle\frac{1}{\rho^2}(y’x-x’y).\qquad (2)$

Sustituyendo las igualdades del sistema dado en (1) y (2) obtenemos

$\rho \rho’=-yx-x^3y+yx-xy^3=-xy(x^2+y^2)=-\rho^4\cos \theta\sin \theta,$ $
\theta’=\dfrac{1}{\rho^2}(x^2-x^2y^2+y^2+x^2y^2)=\dfrac{\rho^2}{\rho^2}=1.$

El sistema dado en coordenadas cartesianas es pues equivalente al siguiente en polares:

$\left \{ \begin{matrix}\rho’=-\rho^3\cos \theta\sin \theta\\\theta’=1\end{matrix}\right.\quad,\quad \begin{bmatrix}\rho(0)\\{\theta (0)}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1/2\\{0}\end{bmatrix}\;.$

De $\theta’=1$ y $\theta (0)=0$ deducimos $\theta=t$. Sustituyendo en la primera ecuación:

$\dfrac{d\rho}{dt}=-\rho^3\cos t\sin t\Leftrightarrow \dfrac{d\rho}{\rho^3}+\dfrac{1}{2}\sin 2t\;dt=0.$

Integrando obtenemos

$-\dfrac{1}{2\rho^2}-\dfrac{1}{4}\cos 2t=C.$

De la condición inicial $\rho(0)=1/2$ deducimos $C=-9/4$, con lo cual queda

$\dfrac{1}{2\rho^2}+\dfrac{1}{4}\cos 2t=\dfrac{9}{4}\;,\mbox{ o bien } \rho=\sqrt{\dfrac{2}{9-\cos 2t}}.$

La solución del sistema es por tanto

$\left \{ \begin{matrix} \rho=\sqrt{\dfrac{2}{9-\cos 2t}} \\ \theta=t\end{matrix}\right.\quad (t\in \mathbb{R}).$