Formas bilineales simétricas y antisimétricas

Proporcionamos ejercicios de formas bilineales simétricas y antisimétricas.

Enunciado
1. Se consideran las formas bilineales en un espacio vectorial real de dimención 2, cuyas expresiones en coordenadas en una determinada base son:
   $(a)\;\; f(x,y)=2x_1y_1-5x_2y_1-5x_1y_2+4x_2y_2.$
   $(b)\;\; g(x,y)=-3x_2y_1+3x_1y_2.$
   $(c)\;\; h(x,y)=x_1y_1+7x_2y_1-2x_1y_2+6x_2y_2.$
   Estudiar en cada caso si la forma es simétrica o antisimétrica.
2. Estudiar si es simétrica la forma bilineal $$f:\mathbb{R}[x]\times \mathbb{R}[x]\to \mathbb{R},\quad f(p,q)=p(0)\cdot q(0).$$
3. Se considera la formas bilineal en un espacio vectorial real de dimención 2, cuya expresión en coordenadas en una determinada base es: $$f(x,y)=2x_1y_1+7x_1y_2+6x_2y_1-x_2y_2.$$ Descomponerla en suma de una forma bilineal simétrica y otra antisimétrica.
4. Sea $f:E\times E\to\mathbb{K}$ una forma bilineal. Se dice que es alternada si, y sólo si $f(u,u)=0$ para todo $u\in E.$
   $(a)\;$ Demostrar que si $f$ es alternada, entonces es antisimétrica.
   $(b)\;$ Demostrar que si $f$ es antisimétrica y $\text{carac }\mathbb{K}\neq 2,$ entonces $f$ es alternada.

Solución
1. $(a)\;$ La matriz de $f$ en la base dada es $\begin{bmatrix}{2}&{-5}\\{-5}&{4}\end{bmatrix}$ (simétrica), por tanto $f$ es simétrica.
   $(b)\;$ La matriz de $g$ en la base dada es $\begin{bmatrix}{0}&{3}\\{-3}&{0}\end{bmatrix}$ (antisimétrica), por tanto $g$ es antisimétrica.
   $(c)\;$ La matriz de $h$ en la base dada es $\begin{bmatrix}{1}&{-2}\\{7}&{6}\end{bmatrix}$ (ni simétrica ni antisimétrica), por tanto $h$ no es simétrica ni antisimétrica.
2. Como la dimensión de $\mathbb{R}[x]$ no es finita, no tiene sentido el concepto de matriz de $f,$ por tanto usaremos la definición. Para todo $p,q\in\mathbb{R}[x]:$ $$f(p,q)=p(0)\cdot q(0)=q(0)\cdot p(0)=f(q,p)$$ es decir, $f$ es simétrica.
3. Descomponiendo la matriz $A$ de $f$ en la base dada, en suma de una matriz simétrica y otra antisimétrica: $$A=\begin{bmatrix}{2}&{7 }\\{6 }&{-1}\end{bmatrix}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}{4}&{13 }\\{13 }&{-2}\end{bmatrix}+\frac{1}{2}\begin{bmatrix}{0}&{1 }\\{-1 }&{0}\end{bmatrix}.$$ En consecuencia, $$f(x,y)=\begin{bmatrix}x_1,\;x_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{2}&{7 }\\{6 }&{-1}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_1\\{y_2}\end{bmatrix}$$ $$=\begin{bmatrix}x_1,\;x_2\end{bmatrix}\frac{1}{2}\begin{bmatrix}{4}&{13 }\\{13 }&{-2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_1\\{y_2}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}x_1,\;x_2\end{bmatrix}\frac{1}{2}\begin{bmatrix}{0}&{1 }\\{-1 }&{0}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_1\\{y_2}\end{bmatrix}.$$ Las correspondientes formas bilineales simétrica y antisimétrica son respectivamente:$$\begin{aligned}f_s(x,y)&=\begin{bmatrix}x_1,\;x_2\end{bmatrix}\frac{1}{2}\begin{bmatrix}{4}&{13 }\\{13 }&{-2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_1\\{y_2}\end{bmatrix}\\
   &=2x_1y_1+\frac{13}{2}x_2y_1+\frac{13}{2}x_1y_2-x_2y_2.\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}f_a(x,y)&=\begin{bmatrix}x_1,\;x_2\end{bmatrix}\frac{1}{2}\begin{bmatrix}{0}&{1 }\\{-1 }&{0}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_1\\{y_2}\end{bmatrix}\\
   &=-\frac{1}{2}x_2y_1+\frac{1}{2}x_1y_2.\end{aligned}$$
4. $(a)\;$ Si $f$ es alternada, para todo $x,y\in E$ se verifica $f(x+y,x+y)=0.$ Pero por la bilinealidad de $f:$ $$\begin{aligned}&0=f(x+y,x+y)=f(x,x+y)+f(y,x+y)\\
   &=f(x,x)+f(x,y)+f(y,x)+f(y,y)=0+f(x,y)+f(y,x)+0.\end{aligned}$$ Es decir, $f(y,x)=-f(x,y),$ por tanto $f$ es antisimétrica.
   $(b)\;$ Si $f$ es antisimétrica, $f(x,y)+f(y,x)=0$ para todo $x,y\in E.$ Haciendo $x=y:$ $$0=f(x,x)+f(x,x)=(1+1)f(x,x).$$ Como $1+1\neq 0,$ queda $f(x,x)=0$ para todo $x\in E,$ luego $f$ es alternada.