Espacios topológicos $T_3$ y $T_4$

RESUMEN. Demostramos que todo espacio topológico $T_4$ es $T_3$ y que el recíproco no es cierto.

  1. Definición. Un espacio topológico $X$ se dice que es normal si para cada par de conjuntos $F_1,F_2$ cerrados y disjuntos existen dos conjuntos $G,H$ abiertos y disjuntos tales que $F_1\subset G$ y $F_2\subset H.$
  2. Ejemplo. Sea en $X=\{a,b,c\}$ la topología $T=\{\emptyset,X,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}.$ Sus cerrados son $X$, $\emptyset$, $\{b,c\}$, $\{a,c\}$, $\{c\}$. Si $F_1$ y $F_2$ son cerrados y disjuntos, uno de ellos (por ejemplo $F_1$) ha de ser el conjunto vacío $\emptyset.$ Entonces, todo cerrado $F_2$ cumple $F_1\cap F_2=\emptyset$ y los abiertos $G=\emptyset$, $H=X$ son disjuntos con $F_1\subset G$ y $F_2\subset H.$ Es decir, $X$ es normal. Sin embargo no es $T_1$ pues el conjunto unitario $\{a\}$
    no es cerrado.
  3. Definición. Un espacio topológico $X$ se dice que es $T_4$ si es normal y $T_1.$
  4. Teorema. Todo espacio topológico $T_4$ es $T_3.$
    Demostración. Supongamos que $F$ es un subconjunto cerrado de $X$ y $p\in X$ con $p\notin F.$ Por ser $X$ un espacio $T_4$, es $T_1$ y por tanto $\{p\}$ es cerrado. Por ser $F$ y $\{p\}$ disjuntos y $X$ normal, existen conjuntos abiertos y disjuntos $G$ y $H$ tales que $F\subset G$ y $p\in \{p\}\subset H.$ Es decir $X$ es regular y $T_1$ y por tanto es normal.
  5. Nota. Se demuestra que si $\mathbb{R}$ es la recta de Sorgenfrey es decir, $\mathbb{R}$ con la topología de base $\mathcal{B}=\{[a,b): a, b\in \mathbb{R}, a < b\}$ entonces $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ con la topología producto es $T_3$ pero no $T_4$ por tanto, el recíproco del teorema anterior no es cierto.
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