Criterio de divisivilidad entre $3$

RESUMEN. Demostramos un criterio de divisivilidad entre $3$

Enunciado
Demostrar que un número natural es divisible entre $3$ si y sólo sí lo es la suma de sus dígitos.

Solución
Veamos que todo número tiene la misma congruencia módulo $3$ que la suma de sus dígitos. Sea el número natural $$m=a_n10^n+a_{n-1}10^{n-1}+\ldots+a_110+a_0.$$ Entonces, $$m-(a_n+a_{n-1}+\ldots+a_1+a_0)$$ $$=a_n10^n+a_{n-1}10^{n-1}+\ldots+a_110+a_0-(a_n+a_{n-1}+\ldots+a_1+a_0)$$ $$=a_n[(10^n-1)+1]+a_{n-1}[(10^{n-1}-1)+1]+\ldots+a_1[(10-1)+1]+a_0$$ $$-(a_n+a_{n-1}+\ldots+a_1+a_0)$$ $$=a_n(10^n-1)+a_{n-1}(10^{n-1}-1)+\ldots+a_1(10-1),$$ y los números $10^{k}-1$ son múltiplos de $3$. Es decir, $m$ y la suma de sus dígitos proporcionan el mismo resto al dividirlos entre $3.$ Como consecuencia, un número natural es divisible entre $3$ si y sólo sí lo es la suma de sus dígitos.

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