Mínima $\sigma-$álgebra que contiene a otra y a un conjunto

RESUMEN. Determinamos la mínima $\sigma$-álgebra que contiene a otra y a un conjunto.

Enunciado
Sea $\mathcal{F}$ una $\sigma-$álgebra en un conjunto $\Omega$ y $A\subset{\Omega}$ tal que $A\not\in \mathcal{F}$. Demostrar que la más pequeña $\sigma-$álgebra que contiene a $\mathcal{F}\cup\{A\}$ es $$\mathcal{G}=\left\{{(A\cap{B_1})\cup{(A^{c}\cap{B_2})}} : B_1, B_2 \in \mathscr{F}\right\}.$$ Solución
Tenemos que demostrar que:
(1) $\mathcal{F}\cup \{A\}\subset \mathcal{G}.$
(2) $\mathcal{G}$ es $\sigma-$álgebra en $\Omega.$
(3) Si $\mathcal{G}^\prime$ es $\sigma-$álgebra en $\Omega$ que contiene a $\mathcal{F}\cup \{A\}$ entonces, $\mathcal{G}\subset \mathcal{G}^\prime.$

(1) Tenemos $$B\in \mathcal{F}\Rightarrow B=B\cap \Omega=B\cap (A\cup A^c)=(A\cap B)\cup (A^c\cap B).$$ Tomando $B_1=B_2=B$ deducimos que $B\in \mathcal{G}.$ Por otra parte, $$A=A\cup \emptyset=(A\cap X)\cup (A^c\cap \emptyset) \underbrace{\Rightarrow}_{X\in\mathcal{F},\; \emptyset\in \mathcal{F}}A\in\mathcal{G}.$$ Concluimos pues que $\mathcal{F}\cup \{A\}\subset \mathcal{G}.$

(2) Comprobemos las tres condiciones de $\sigma-$álgebra para $\mathcal{G}.$
(a) Tenemos $X=A\cup A^c=(A\cap X)\cup (A^c\cap X)$ y $X\in \mathcal{F}$ por ser $\mathcal{F}$ una $\sigma-$álgebra. En consecuencia, $X\in\mathcal{G}.$
(b) Sea $\{C_n:n\ge 1\}$ una familia de elementos de $\mathcal{G}.$ Entonces, por definición de $\mathcal{G}$ existen colecciones $\{B_{(1,n)}:n\ge 1\}$ y $\{B_{(2,n)}:n\ge 1\}$ de elementos de $\mathcal{F}$ tales que $$C_n=\left(A\cap B_{(1,n)}\right)\cup \left(A^c\cap B_{(2,n)}\right).$$ Entonces,
$$\displaystyle\bigcup_{n\geq{1}}C_n=\displaystyle\bigcup_{n\geq{1}}\left[\left(A\cap B_{(1,n)}\right)\cup \left(A^c\cap B_{(2,n)}\right)\right]$$ $$=\left[\bigcup_{n\geq{1}} \left(A\cap B_{(1,n)} \right)\right] \cup \left[ \bigcup_{n\geq{1}}\left(A^c\cap B_{(2,n)}\right)\right]$$ $$=\left[A\cap\left(\bigcup_{n\ge1}B_{(1,n)}\right)\right]\cup \left[A^c\cap\left(\bigcup_{n\ge1}B_{(2,n)}\right)\right].$$ Como $\mathcal{F}$ es $\sigma-$álgebra, $B_1:=\bigcup_{n\ge1}B_{(1,n)}$ y $B_2:=\bigcup_{n\ge1}B_{(2,n)}$ son elementos de $\mathcal{F}$, con lo cual$$\displaystyle\bigcup_{n\geq{1}}C_n=\left(A\cap B_1\right)\cup \left(A^c\cap B_2\right)\in\mathcal{G}.$$ (c) Sea $C\in \mathcal{G}$ y demostremos que también $C^c\in\mathcal{G}.$ En efecto, $C$ es de la forma $\left(A\cap B_1\right) \cup \left (A^{c}\cap B_2\right)$ con $B_1,B_2\in \mathcal{F}.$ Usando las leyes de Morgan y propiedades distributivas: $$C^c=\left[\left (A\cap B_1\right) \cup \left (A^{c}\cap B_2\right)\right]^{c}=\left (A\cap B_1\right)^c\cap \left ( A^{c}\cap B_2\right)^c$$ $$= \left(A^c\cup B_1^c\right)\cap \left(A\cup B_2^c\right)=\left[\left(A^c\cup B_1^c\right)\cap A\right]\cup\left[\left(A^c\cup B_1^c\right)\cap B_2^c\right]$$ $$=\left[\left(A^c\cap A\right)\cup \left(B_1^c\cap A\right)\right]\cup \left[\left(A^c\cap B_2^c\right)\cup \left(B_2^c\cap B_1^c\right)\right]$$ $$=\emptyset\cup \left(B_1^c\cap A\right)\cup \left(A^c\cap B_2^c\right)\cup \left(B_2^c\cap B_1^c\right)$$ $$=\left(B_1^c\cap A\right)\cup \left(A^c\cap B_2^c\right)\cup \left(B_2^c\cap B_1^c\right).$$ Dado que $B_1$ y $B_2$ pertenecen a $\mathcal{F}$ también $B_1^c$, $B_2^c$ y $B_2^c\cap B_1^c$ pertenecen a $\mathcal{F}.$ Esto implica que $\left(B_1^c\cap A\right)\cup \left(A^c\cap B_2^c\right)\in\mathcal{G}$ y $B_2^c\cap B_1^c\in\mathcal{F}\subset{G}.$ Por (b), la unión contable de elementos de $\mathcal{G}$ pertenece a $\mathcal{G},$ luego $C^c\in\mathcal{G}.$ Concluimos pues que $\mathcal{G}$ es $\sigma-$álgebra.

(3) Si $\mathcal{G}^\prime$ es una $\sigma-$álgebra que contiene a $\mathcal{F}\cup \{A\}$, entonces $A,$ $B_1$ y $B_2$ pertenecen a $\mathcal{G}^\prime$ para todo $B_1,B_2\in \mathcal{F}.$ Todo elemento de $\mathcal{G}$ es de la forma $\left (A\cap B_1\right) \cup \left (A^{c}\cap B_2\right)$ que también pertence a $\mathcal{G}^\prime$ al ser $\mathcal{G}^\prime$ cerrado bajo uniones e intersecciones contables y bajo complementarios. En consecuencia, $\mathcal{G}\subset \mathcal{G}^\prime.$

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