Edo $y^{\prime\prime}=x(y^\prime)^3$

RESUMEN. Resolvemos una ecuación diferencial de segundo orden.

Enunciado
Resolver la ecuación diferencial de segundo orden $y^{\prime\prime}=x(y^\prime)^3.$

Solución
Denotando $p=y^\prime$ queda $p^\prime=xp^3$ o bien $dp/dx=xp^3$ o bien $dp/p^3=xdx$, ecuación de variables separadas. Integrando $$\int \frac{dp}{p^3}=\int xdx,\quad -\frac{1}{p^2}=\frac{x^2}{2}+C,$$ $$-\frac{1}{p^2}=x^2+C,\quad p^2=\frac{1}{-x^2-C},$$ $$p=\frac{1}{\sqrt{C_1-x^2}},\quad y^\prime=\frac{1}{\sqrt{C_1-x^2}}.$$ La ecuación diferencial tiene sentido para $C_1 >0$. Integrando la última expresión: $$y=\int \frac{1}{\sqrt{C_1-x^2}}=\arctan \frac{x}{\sqrt{C_1-x^2}}+C_2$$ y para cada $C_1>0,C_2$ el dominio de definición de la correspondiente solución es $|x| < \sqrt{C_1}.$

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