Series uniformemente convergentes. Criterio de Weierstrass

Publicada el septiembre 18, 2014 por Fernando Revilla

Aplicamos el criterio de Weierstrass para identificar series uniformemente convergentes.

RESUMEN TEÓRICO
  • Sean $u_1(x),$ $u_2(x),\ldots$ funciones reales definidas en un subconjunto $E$ de $\mathbb{R}.$ A la serie $u_1(x)+u_2(x)+\cdots$ se la llama serie de funciones o serie funcional. Puede ser convergente para ciertos valores de $x$ y para otros, no. Si $E’$ es el conjunto de los valores de $E$ para los cuales la serie funcional es convergente, tenemos definida la función suma $$S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)\;\;\forall x\in E’.$$ Esto equivale a decir que la sucesión de sumas parciales $S_n(x)=u_1(x)+\cdots +u_n(x)$ converge a la función $S(x)$ en $E’.$ Tiene por tanto sentido hablar de convergencia uniforme de una serie funcional.
  • De los resultados de las sucesiones uniformemente convergentes, se deducen de manera inmediata las siguientes propiedades para series:
    Propiedades
    $1.$  Sea $I$ un intervalo de $\mathbb{R}$ y $u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots$ una serie de funciones reales que converge uniformemente a la función $S$ en $I.$ Si $u_n$ es continua en $I$ para todo $n,$ entonces $S$ es continua en $I.$
    $2.$  Sea $u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots$ una serie de funciones reales continuas que converge uniformemente a la función $S$ en $[a.b]$ Entonces,$$\int_a^bS(x)\;dx=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{a}^bu_n(x)\;dx,\text{ o equivalentemente}$$ $$\int_a^b\left(\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)\right)dx=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{a}^bu_n(x)\;dx.$$ Es decir, la suma e integración conmutan.
    $3.$  Sea $u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots$ una serie de funciones reales que admiten derivadas continua en un intervalo $I$ de $\mathbb{R}.$ Supongamos que las series $u_1+u_2+\cdots$ y $u’_1+u’_2+\cdots$ convergen uniformemente en $I$ con sumas $S$ y $T.$ Entonces, $S$ admite derivada continua en $I$ que coincide con $T.$ Podemos por tanto escribir $$\left(\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)\right)’=\sum_{n=1}^{\infty}u’_n(x).$$ Es decir, la suma y la derivación conmutan.
    $4.$  (Criterio de Cauchy). Sea $I$ un intervalo de $\mathbb{R}$ y $u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots$ una serie de funciones reales definidas en $I.$ Para que esta serie converja uniformemente en $I,$ es necesario y suficiente que para todo $\epsilon>0$ exista un número natural  $n_0$ tal que $$n\geq m\geq n_0\Rightarrow \left|u_m(x)+u_{m+1}(x)+\cdots+u_n(x)\right|<\epsilon\;\forall x\in I.$$
  • Teorema  (Criterio de Weierstrass para la convergencia uniforme de series).  Sea $I$ un intervalo de $\mathbb{R}$ y $u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots$ una serie de funciones definidas en $I.$ Supongamos que existe una sucesión de constantes reales $\alpha_n\geq 0$ que satisfacen $\left|u_n(x)\right|\leq \alpha_n$ para todo $x\in I.$ Entonces, si $\sum_{n=1}^{\infty}\alpha_n$ es convergente, la serie $\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ es uniformemente convergente en $I.$
    Enunciado
  1. Demostrar que la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\operatorname{sen}^2x}{2^n+1}$ es uniformemente convergente en $\mathbb{R}.$
  2. Demostrar que la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{e^{-nx^2}}{n^2+x^2}$ es uniformemente convergente en $\mathbb{R}.$
  3. Sea $f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\operatorname{sen}nx}{n^3}.$ Demostrar que $\displaystyle\int_0^{\pi}f(x)\;dx=2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^4}.$
  4. Estudiar la convergencia de la serie numérica: $$\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\displaystyle\int_0^1\left(\frac{1}{x^4+2x^2+2}\right)^n\;dx.$$ En caso de ser convergente, hallar su suma.
  5. Demostrar el criterio de Weierstrass para la convergencia uniforme de series:
    Sea $I$ un intervalo de $\mathbb{R}$ y $u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots$ una serie de funciones definidas en $I.$ Supongamos que existe una sucesión de constantes reales $\alpha_n\geq 0$ que satisfacen $\left|u_n(x)\right|\leq \alpha_n$ para todo $x\in I.$ Entonces, si $\sum_{n=1}^{\infty}\alpha_n$ es convergente, la serie $\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ es uniformemente convergente en $I.$
    Solución
  1. Tenemos $$\left|\frac{\operatorname{sen}^2x}{2^n+1}\right|=\frac{\left|\operatorname{sen}^2x\right|}{2^n+1}\leq \frac{1}{2^n+1}\leq \frac{1}{2^n}\;\forall x\in\mathbb{R}.$$ Dado que la serie $\sum_{n=1}^{\infty}1/2^n$ es convergente, la serie dada es uniformemente convergente en $\mathbb{R}$ como consecuencia del criterio de Weierstrass.
  2. Tenemos $$\left|\frac{e^{-nx^2}}{n^2+x^2}\right|=\frac{e^{-nx^2}}{n^2+x^2}\leq \frac{1}{n^2+x^2}\leq \frac{1}{n^2}\;\forall x\in\mathbb{R}.$$ Dado que la serie $\sum_{n=1}^{\infty}1/n^2$ es convergente, la serie dada es uniformemente convergente en $\mathbb{R}$ como consecuencia del criterio de Weierstrass.
  3. Veamos que la serie dada converge uniformemente en $\mathbb{R}.$ Tenemos $$\left|\frac{\operatorname{sen}nx}{n^3}\right|=\frac{\left|\operatorname{sen}nx\right|}{n^3}\leq \frac{1}{n^3}\;\forall x\in\mathbb{R}.$$ Dado que la serie $\sum_{n=1}^{\infty}1/n^3$ es convergente, la serie dada es uniformemente convergente en $\mathbb{R}$ como consecuencia del criterio de Weierstrass. En consecuencia se verifica $$\int_0^{\pi}f(x)\;dx=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{\pi}\frac{\operatorname{sen}nx}{n^3}dx=\sum_{n=1}^{\infty}-\frac{1}{n^4}\left[\cos nx\right]_0^{\pi}$$ $$=\sum_{n=1}^{\infty}-\frac{\cos n\pi-\cos 0}{n^4}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1-(-1)^n}{n^4}.$$ Si $n$ es par, $1-(-1)^n=0$ y si es impar $1-(-1)^n=2.$ Por tanto, $$\int_0^{\pi}f(x)\;dx=2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^4}.$$
  4. Ver Criterio de Weierstrass: suma de una serie.
  5. Sea $\epsilon>0.$ Por el criterio de Cauchy para la convergencia de series numéricas, existe un número natural $n_0$ tal que $$n\geq m\geq n_0\Rightarrow \alpha_m+\alpha_{m+1}+\cdots+\alpha_n<\epsilon.$$ Entonces, $$n\geq m\geq n_0\Rightarrow \left|u_{m}(x)+u_{m+1}(x)+\cdots+u_n(x)\right|$$ $$\leq \left|u_{m}(x)\right|+\left|u_{m+1}(x)\right|+\cdots+\left|u_{n}(x)\right|\leq\alpha_m+\alpha_{m+1}+\cdots+\alpha_n<\epsilon.$$ El teorema es consecuencia del criterio de Cauchy para la convergencia uniforme de series.
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