Integración de funciones racionales (1)

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. Calcular $\displaystyle\int \dfrac{dx}{x^2-5x+6}.$
  2. Calcular $\displaystyle\int \dfrac{x^3\;dx}{x^3-2x^2-x+2}.$
  3. Calcular $\displaystyle\int \dfrac{dx}{x^4-x^3}.$
  4. Calcular $\displaystyle\int \dfrac{(x+1)\;dx}{(x^2+x-2)^2}.$
    Solución
  1. Las raíces del polinomio $x^2-5x+6$ son $x=2$ y $x=3,$ por tanto $x^2-5x+6=(x-2)(x-3).$ Tenemos:$$\dfrac{1}{(x-2)(x-3)}=\dfrac{A}{x-2}+\dfrac{B}{x-3}=\dfrac{A(x-3)+B(x-2)}{(x-2)(x-3)}.$$ Igualando numeradores y dando a $x$ los valores $x=2$ y $x=3,$ obtenemos $A=-1$ y $B=1.$ Entonces, $$\begin{aligned}&\int \dfrac{dx}{x^2-5x+6}=-\int \dfrac{dx}{x-2}+\int \dfrac{dx}{x-3}=-\log |x-2|+\log |x-3|+C\\
    &=\log\left|\frac{x-3}{x-2}\right|+C.\end{aligned}$$
  2. Efectuando la división euclídea, obtenemos $$\dfrac{x^3}{x^3-2x^2-x+2}=1+\frac{2x^2+x-2}{x^3-2x^2-x+2},$$ por tanto $$\displaystyle\int \dfrac{x^3\;dx}{x^3-2x^2-x+2}=x+\int\frac{2x^2+x-2}{x^3-2x^2-x+2}dx.\qquad (1)$$ Una raíz del polinomio $x^3-2x^2-x+2$ es $x=1.$ Usando el algoritmo de Ruffini, obtenemos la descomposición $x^3-2x^2-x+2=(x-1)(x+1)(x-2)$ Tenemos:$$\begin{aligned}&\dfrac{2x^2+x-2}{(x-1)(x+1)(x-2)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+1}+\dfrac{C}{x-2}=\\
    &\dfrac{A(x+1)(x-2)+B(x-1)(x-2)+C(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+1)(x-2)}.\end{aligned}$$ Igualando numeradores y dando a $x$ los valores $x=1,$ $x=-1$ y $x=2$ obtenemos $A=-1/2,$ $B=-1/6$ y $C=8/3.$ Entonces, $$\begin{aligned}&\int\frac{2x^2+x-2}{x^3-2x^2-x+2}dx=-\frac{1}{2}\int \dfrac{dx}{x-1}-\frac{1}{6}\int \dfrac{dx}{x+1}+\frac{8}{3}\int \dfrac{dx}{x-2}\\
    &=-\frac{1}{2}\log |x-1|-\frac{1}{6}\log |x+1|+\frac{8}{3}\log |x-2|+C.\end{aligned}$$ Usando $(1)$ y simplificando las expresiones con logaritmos: $$\begin{aligned}&\displaystyle\int \dfrac{x^3\;dx}{x^3-2x^2-x+2}=x+\\&\dfrac{1}{6}\left(-3\log |x-1|-\log|x+1|+16\log |x+2|\right)+C\\
    &=x+\dfrac{1}{6}\log\left|\frac{(x+2)^{16}}{(x-1)^3(x+1)}\right|+C.\end{aligned}$$
  3. El denominador es $x^3(x-1),$ por tanto:$$\begin{aligned}& \frac{1}{x^3(x-1)}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x^2}+\dfrac{C}{x^3}+\dfrac{D}{x-1}\\
    &=\dfrac{Ax^2(x-1)+Bx(x-1)+C(x-1)+Dx^3}{x^3(x-1)}.
    \end{aligned}$$ Igualando numeradores y dando a $x$ los valores $1,0,-1$ y $2:$$$ \begin{aligned}&x=1\Rightarrow 1=D,\quad x=0\Rightarrow 1=-C.\\
    &x=-1\Rightarrow 1=-2A+2B-2C-D.\\
    &x=2\Rightarrow 1=4A+2B+C+8D.\end{aligned}$$ Resolviendo el sistema, obtenemos $A=-1,$ $B=-1,$ $C=-1,$ y $D=1.$ Entonces,$$\begin{aligned}&\displaystyle\int \dfrac{dx}{x^4-x^3}=-\int\frac{dx}{x}-\int\frac{dx}{x^2}-\int\frac{dx}{x^3}+\int\frac{dx}{x-1}\\
    &=-\log|x|+\frac{1}{x}+\frac{1}{2x^2}+\log |x-1|+C=\frac{1}{x}+\frac{1}{2x^2}+\log \left|\frac{x-1}{x}\right|+C.\end{aligned}$$
  4. Las raíces de $x^2+x-2$ son $x=1$ y $x=-2,$ luego $(x^2+x-2)^2=(x-1)^2(x+2)^2.$ $$\begin{aligned}& \dfrac{x+1}{(x-1)^2(x+2)^2}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{(x-1)^2}+\dfrac{C}{x+2}+\dfrac{D}{(x+2)^2}\\
    &=\dfrac{A(x-1)(x+2)^2+B(x+2)^2+C(x-1)^2(x+2)+D(x-1)^2}{(x-1)^2(x+2)^2}.
    \end{aligned}$$ Igualando numeradores y dando a $x$ los valores $1,-2,0$ y $-1:$
    $$ \begin{aligned}&x=1\Rightarrow 2=9B,\quad x=-2\Rightarrow -1=9D.\\
    &x=0\Rightarrow 1=-4A+4B+2C+D.\\
    &x=-1\Rightarrow 0=-2A+B+4C+4D.\end{aligned}$$ Resolviendo el sistema, obtenemos $A=-1/27,$ $B=2/9,$ $C=1/27,$ y $D=-1/9.$ Entonces,$$\begin{aligned}&\displaystyle\int \dfrac{(x+1)\;dx}{(x^2+x-2)^2}=-\frac{1}{27}\int\frac{dx}{x-1}+\frac{2}{9}\int\frac{dx}{(x-1)^2}+\frac{1}{27}\int\frac{dx}{x+2}\\
    &-\frac{1}{9}\int\frac{dx}{(x+2)^2}=-\frac{1}{27}\log|x-1|-\frac{2}{9(x-1)}\\&+\frac{1}{27}\log |x+2|+\frac{1}{9(x+2)}+C.\end{aligned}$$ Agrupando logaritmos y simplificando: $$\begin{aligned}&\displaystyle\int \dfrac{(x+1)\;dx}{(x^2+x-2)^2}=\frac{1}{27}\left(\frac{3}{x+2}-\frac{6}{x-1}+\log\left|\frac{x+2}{x-1}\right|\right)+C.\end{aligned}$$
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