Teorema de existencia y unicidad de soluciones de una ecuación diferencial

Enunciado
Se considera el siguiente teorema de existencia y unicidad de las soluciones de una ecuación diferencial:
Teorema. Sea $D\subset \mathbb{R}^2$ un dominio y  $f:D\to \mathbb{R}$ tal que  $f$ y $\dfrac{\partial f}{\partial y}$ son continuas en $D.$ Sea $(x_0,y_0)\in D.$ Entonces, existe una única solución de la ecuación diferencial $y’=f(x,y)$ que pasa por $(x_0,y_0).$

1.  Aplicando el teorema anterior, estudiar en que subconjuntos de  $\mathbb{R}^2$ las siguientes ecuaciones admiten solución única $$(a)\;y’=x^2+y^3.\quad(b)\;y’=\frac{1}{y^2}.\quad (c)\;y’=\frac{y+1}{x-y}.\quad (d)\;y’=\frac{3}{2}y^{2/3}.$$ 2.  Comprobar que tanto  $\varphi (x)=x^3/8$ como  $\psi (x)=0$ son soluciones de la ecuación diferencial $y’=\dfrac{3}{2}y^{2/3}$ que pasan por $(0,0).$ ¿Supone esto una contradicción?

Solución
1.  $(a)$  Las funciones $$f(x,y)=x^2+y^3,\quad\frac{\partial f}{\partial y}=3y^2,$$ son continuas en $D=\mathbb{R}^2,$ por tanto para todo $(x_0,y_0)\in \mathbb{R}^2$ existe una única solución de la ecuación que pasa por $(x_0,y_0).$

$(b)$  Las funciones $$f(x,y)=\frac{1}{y^2},\quad\frac{\partial f}{\partial y}=-\frac{2}{y^3},$$ son continuas en $D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:y\ne 0\},$ por tanto para todo $(x_0,y_0)\in D$ existe una única solución de la ecuación que pasa por $(x_0,y_0).$

$(c)$  Las funciones $$f(x,y)=\frac{y+1}{x-y},\quad\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{x}{(x-y)^2},$$ son continuas en $D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x\ne y \},$ por tanto para todo $(x_0,y_0)\in D$ existe una única solución de la ecuación que pasa por $(x_0,y_0).$

$(d)$  Las funciones $$f(x,y)=\frac{3}{2}y^{2/3},\quad\frac{\partial f}{\partial y}=y^{-1/3}=\frac{1}{\sqrt[3]{y}},$$ son continuas en $D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:y\ne 0 \},$ por tanto para todo $(x_0,y_0)\in D$ existe una única solución de la ecuación que pasa por $(x_0,y_0).$

2.  Efectivamente $$\varphi (0)=0,\quad\varphi’ (x)=\frac{3}{8}x^2,\quad \frac{3}{2}y^{2/3}=\frac{3}{2}\left(\frac{x^3}{8}\right)^{2/3}=\frac{3}{8}x^2.$$ $$\psi (0)=0,\quad\psi’ (x)=0,\quad \frac{3}{2}y^{2/3}=\frac{3}{2}0^{2/3}=0.$$ Este hecho no supone ninguna contradicción pues según el apartado $(d)$ anterior, para la ecuación diferencial  $y’=\dfrac{3}{2}y^{2/3},$ no se puede asegurar con el teorema dado ni la existencia ni la unicidad en los puntos del eje $OX.$

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