Ecuación en diferencias homogénea

RESUMEN. Proporcionamos un método para la resolución de la ecuación en diferencias homogénea.

  1. Definición. Se llama ecuación en diferencias lineal de orden $k$ con coeficientes constantes a toda expresión de la forma $$x_{n+k}+a_1x_{n+k-1}+\ldots +a_{k-1}x_{n+1}+a_kx_n=b(n)\qquad (1)$$ en donde $a_1,a_2,\ldots,a_k$ son números reales con $a_k\ne 0$ y $b$ una función de $\mathbb{N}$ en $\mathbb{R}$.
  2. Definición. Si $b$ es la función nula, a la ecuación obtenida se la llama ecuación en diferencias lineal de orden $k$ con coeficientes constantes y homogénea:
    $$x_{n+k}+a_1x_{n+k-1}+\ldots +a_{k-1}x_{n+1}+a_kx_n=0\qquad (2)$$
  3. Nota. Abreviadamente a la ecuación (1) la llamamos ecuación en diferencias completa y a la (2), ecuación en diferencias homogénea.
  4. Ejemplo. La ecuación $x_{n+3}+7x_{n+2}-2x_{n+1}+x_n=5^n$ es una ecuación en diferencias completa de orden $3$ y $x_{n+3}+7x_{n+2}-2x_{n+1}+x_n=0$ la correspondiente homogénea.
  5. Definición. Llamamos solución de la ecuación (1) (ídem de la (2)), a toda sucesión $(x_n)=(x_0,x_1,x_2,\ldots)$ de números reales que la satisface.
  6. Ejemplo. La sucesión $x_n=2^n+3^n$ es solución de la ecuación en diferencias $x_{n+2}-5x_{n+1}+6x_n=0$ pues $$x_{n+2}-5x_{n+1}+6x_n=2^{n+2}+3^{n+2}-5(2^{n+1}+3^{n+1})+6(2^n+3^n)$$ $$=4\cdot 2^n+9\cdot 3^n-10\cdot2^n-15\cdot 3^n+6\cdot 2^n+6\cdot 3^n=0\cdot 2^n+0\cdot 3^n=0.$$
  7. Teorema. (De existencia y unicidad). Dada la ecuación en diferencias de orden $k$ homogénea $x_{n+k}+a_1x_{n+k-1}+\ldots +a_{k-1}x_{n+1}+a_kx_n=0$ y dados $k$ números reales $d_0,d_1,\ldots,d_{k-1}$, existe un única solución de la ecuación dada cumpliendo $$x_0=d_0,\;x_1=d_1,\;\ldots,\;x_{k-1}=d_{k-1}.$$ Demostración. Definimos la sucesión $(x_n)$ en la forma $$x_0=d_0,\;x_1=d_1,\;\ldots,\;x_{k-1}=d_{k-1},$$ $$x_k=-a_1x_{k-1}-\ldots -a_kx_0,$$ $$x_{k+1}=-a_1x_{k}-\ldots -a_kx_1,$$ $$x_{k+2}=-a_1x_{k+1}-\ldots -a_kx_2,$$ $$\ldots$$ La sucesión $(x_n)$ queda definida por recurrencia, es solución de la ecuación, satisface las condiciones iniciales y además es única pues la ley de recurrencia determina los posteriores valores de la sucesión. $\quad \square$
  8. Teorema. (a) El conjunto $Z$ de las soluciones de la ecuación en diferencias de orden $k$ homogénea $x_{n+k}+a_1x_{n+k-1}+\ldots +a_{k-1}x_{n+1}+a_kx_n=0$ tiene estructura de espacio vectorial con las operaciones usuales de sucesiones.
    (b) $\dim Z=k.$
    Demostración. (a) Basta demostrar que es $Z$ es un subespacio del espacio vectorial de las sucesiones. Trivialmente, la sucesión $(0)=(0,0,0,\ldots)$ es solución de la ecuación. Sean $\alpha,\beta$ números reales y $(x_n)$ e $(y_n)$ elementos de $Z.$ Entonces $$\left (\alpha x_{n+k}+\beta y_{n+k}\right)+a_1(n)\left (\alpha x_{n+k-1}+\beta y_{n+k-1}\right)+\ldots $$ $$+a_{k-1}(n)\left (\alpha x_{n+1}+\beta y_{n+1}\right)+a_k(n)\left(\alpha x_n+\beta y_n\right)$$ $$=\alpha \left(x_{n+k}+a_1(n)x_{n+k-1}+\ldots +a_{k-1}(n)x_{n+1}+a_k(n)x_n\right)$$ $$+\beta \left(y_{n+k}+a_1(n)y_{n+k-1}+\ldots +a_{k-1}(n)y_{n+1}+a_k(n)y_n\right)$$ $$=\alpha\cdot 0+\beta\cdot 0=0,$$ es decir $\alpha (x_n)+\beta (y_n)$ pertenece a $Z$.
    (b) Consideremos $B_Z=\{x^1,x^2,\ldots,x^k\}\subset Z$ cuyos elementos son $$x^1=\left(x_0^1,x_1^1,x_2^1,\ldots\right),\;x^2=\left(x_0^2,x_1^2,x_2^2,\ldots\right),\ldots ,x^k=\left(x_0^k,x_1^k,x_2^k,\ldots\right)$$ con las condiciones iniciales $$\left(x_0^1,x_1^1,\ldots x_{k-1}^1\right)=(1,0,\ldots,0)=e_1$$ $$\left(x_0^2,x_1^2,\ldots x_{k-1}^2\right)=(0,1,\ldots,0)=e_2$$ $$\ldots$$ $$\left(x_0^k,x_1^k,\ldots x_{k-1}^k\right)=(0,0,\ldots,1)=e_k$$ Es claro que $B_Z$ es un sistema libre. Veamos que también es sistema generador, lo cual probará que es base y quedará demostrado el teorema. Sea $y=(y_n)$ una solución de la ecuación en diferencias homogénea con las condiciones $$y_0=\alpha_1,y_1=\alpha_2,\ldots, y_{k-1}=\alpha_k.$$ Veamos que $\alpha_1x^1+\alpha_2 x^2+\ldots +\alpha_k x^k$ es solución de la ecuación verificando las mismas condiciones iniciales, con lo cual por el teorema de existencia y unicidad 7, $y=\alpha_1x^1+\alpha_2 x^2+\ldots +\alpha_k x^k.$ Claramente $y$ es solución la ecuación en diferencias homogéneade por ser combinación lineal de soluciones y además $$\begin{bmatrix}\alpha_1x_0^1+\ldots +\alpha_kx_{0}^{k-1}\\ \vdots\\{\alpha_1x_{k-1}^1+\ldots +\alpha_kx_{k-1}^{k-1}}\end{bmatrix}=\alpha_1\begin{bmatrix}x_0^1\\ \vdots\\{x_{k-1}^1}\end{bmatrix}+\ldots+\alpha_k\begin{bmatrix}x_0^{k-1}\\ \vdots\\{x_{k-1}^{k-1}}\end{bmatrix}$$ $$=\alpha_1\begin{bmatrix}1\\ \vdots\\{0}\end{bmatrix}+\ldots+\alpha_k\begin{bmatrix}0\\ \vdots\\{1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\alpha_1\\ \vdots\\{\alpha_k}\end{bmatrix}.\qquad \square$$
  9. Vamos a dar un método para la resolución de la ecuación en diferencias homogénea. Dado que el conjunto de las soluciones de la ecuación en diferencias homogénea tiene estructura de espacio vectorial de dimensión $k$ bastará hallar una base del espacio de las soluciones, con lo cual tendremos la solución general (i.e. todas las soluciones).
  10. Definición. La ecuación $$\lambda^{k}+a_1\lambda^{k-1}+\ldots +a_{k-1}\lambda+a_k=0$$ se llama ecuación característica asociada a la ecuación en diferencias homogénea.
  11. Método para el cálculo de una base del espacio de las soluciones de la ecuación homogénea.
    1. Por cada raíz real simple $\lambda$ de la ecuación característica, elegimos la sucesión $\lambda^n.$
    2. Por cada raíz real de multiplicidad $r$ de la ecuación característica, elegimos la sucesiones $$\lambda^n,\ n\lambda^n,\ n^2\lambda^n,\ \ldots\ ,\ n^{r-1}\lambda^n.$$ 3. Por cada raíz compleja $\lambda=a+bi\ (b > 0 )$ simple de la ecuación característica, elegimos las sucesiones
    $$\rho^n\cos n\theta,\ \rho^n\sin n\theta$$ siendo $a+bi=\rho\left(\cos \theta+i\sin \theta\right).$
    4. Por cada raíz compleja $\lambda=a+bi\ (b > 0 )$ de multiplicidad $r$ de la ecuación característica, elegimos las sucesiones $$\rho^n\cos n\theta,\ n\rho^n\cos n\theta,\ n^2\rho^n\cos n\theta,\ \ldots\ ,\ n^{r-1}\rho^n\cos n\theta ,$$ $$\rho^n\sin n\theta,\ n\rho^n\sin n\theta,\ n^2\rho^n\sin n\theta,\ \ldots\ ,\ n^{r-1}\rho^n\sin n\theta $$ siendo $a+bi=\rho\left(\cos \theta+i\sin \theta\right).$
  12. Ejemplo. Resolver la ecuación en diferencias $$x_{n+2}-5x_{n+1}+6x_n=0.$$ Hallar la solución particular cumpliendo las condiciones $x_0=-1$, $x_1=-7.$
    Solución. La ecuación característica es $\lambda^2-5\lambda +6=0$ cuyas raíces son $\lambda=2,$ $\lambda=3$ simples luego la solución general es $$x_n=C_12^n+C_23^n.$$ Obligando a que cumpla las condiciones iniciales $$\left \{ \begin{matrix} C_1+C_2=-1\\2C_1+3C_2=-7\end{matrix}\right.$$ cuya solución es $C_1=4,$ $C_2=-5$ con lo cual $$x_n=4\cdot 2^n-5\cdot3^3.$$
  13. Ejemplo. Determinar la sucesión de Fibonacci $F_n$, es decir $$F_0=0,\;F_1=1,\quad F_{n+2}=F_n+F_{n+1}.$$ Solución. La ecuación característica es $\lambda^2-\lambda -1=0$ cuyas raíces son $\lambda=(1 \pm \sqrt{5})/2.$ La solución general de $F_{n+2}=F_n+F_{n+1}$ es por tanto $$F_n=C_1\left(\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^n+C_2\left(\dfrac{1 – \sqrt{5}}{2}\right)^n.$$ Obligando a que $F_0=0,F_1=1$, $$\left \{ \begin{matrix} C_1+C_2=0\\
    \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}C_1+\dfrac{1 – \sqrt{5}}{2}C_2=1.\end{matrix}\right.$$ Resolviendo queda $C_1=1/\sqrt{5},C_2=-1/\sqrt{5}$ por tanto $$F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^n-\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\dfrac{1 – \sqrt{5}}{2}\right)^n.$$
  14. Ejemplo. Resolver la ecuación en diferencias homogénea $$x_{n+3}-3x_{n+2}+4x_{n+1}-12x_n=0.$$ Solución.La ecuación característica es $\lambda^3-3\lambda^2+4\lambda -12=0$ cuyas raíces son $3$ simple y $\pm 2i$ simples. Para $\lambda=2i$ tenemos $\rho=2$ y $\theta=\pi/2.$ La solución general es por tanto $$x_n=C_1 3^n+2^n\left(C_2\cos \frac{n\pi}{2}+C_3\sin \frac{n\pi}{2}\right).$$
  15. Ejemplo.Resolver la ecuación en diferencias homogénea $$x_{n+4}+2x_{n+3}-2x_{n+2}+8x_n=0.$$Solución.La ecuación característica es $\lambda^4+2\lambda^3-2\lambda^2 +8=0$ cuyas raíces son $-2$ doble y $1\pm i$ simples. Para $\lambda=1+i$ tenemos $\rho=\sqrt{2}$ y $\theta=\pi/4.$ La solución general es por tanto $$x_n=(-2)^n\left(C_1+C_2n\right)+(\sqrt{2})^n\left(C_3\cos \frac{n\pi}{4}+C_4\sin \frac{n\pi}{4}\right).$$
  16. Ejemplo. (a) Hallar la solución general de la ecuación en diferencias $$x_{n+4}+2x_{n+2}+x_n=0.$$ (b) Hallar la solución particular con las condiciones iniciales $$x_0=0,x_1=2,x_2=-2,x_3=-2.$$ Solución. (a) La ecuación característica es $\lambda^4+2\lambda^2+1=0$ o bien $(\lambda^2+1)^2=0$ cuyas soluciones son $\lambda=\pm i$ dobles. Para $\lambda=i$ tenemos $\rho=1$ y $\theta=\pi/2.$ La solución general es por tanto $$x_n=(C_1+C_2n)\cos \frac{n\pi}{2}+(C_3+C_4n)\sin \frac{n\pi}{2}.$$ (b) Imponiendo que se cumplan las condiciones iniciales, $$\left \{ \begin{matrix} C_1=0\\C_3+C_4=2\\
    -C_1-2C_2=-2\\
    -C_3-3C_4=-2\end{matrix}\right.$$ cuya solución es $C_1=0,C_2=1,C_3=2,C_4=0.$ La solución particular es $$x_n=n\cos \frac{n\pi}{2}+2\sin \frac{n\pi}{2}.$$
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