Producto directo externo de grupos

RESUMEN. Construimos el producto directo externo de grupos.

Enunciado
Sea $\{G_i:i\in I\}$ una colección de gupos con notación multiplicativa y consideremos el producto cartesiano $$G=\prod_{i\in I}G_i=\{f:I\to\bigcup_{i\in I}G_i,f\text{ aplicación}:f(i)\in G_i\;\forall i\in I\}.$$ Para cada par de elementos $f,g\in G$ definimos $fg$ de la siguiente manera: $$(fg)(i)=f(i)g(i)\;\forall i\in I.$$ Demostrar que $G$ es grupo con tal operación (se le llama producto directo externo de los grupos $G_i$).

Solución
Si $f,g\in G$ se verifica $f(i)\in G_i$ y $g(i)\in G_i$ para todo $i\in I$ y por la propiedad interna en $G_i$ se verifica $(fg)(i)=f(i)g(i)\in G_i$ para todo $i\in I$. Es decir $fg\in G.$ Usando la propiedad asociativa en cada $G_i$ tenemos para todo $f,g,h\in G$ y para todo $i\in I$ $$((fg)h)(i)=(fg)(i)h(i)=(f(i)g(i))h(i)$$ $$=f(i)(g(i)h(i))=f(i)((gh)(i))=(f(gh))(i),$$ lo cual implica $(fg)h=f(gh).$ Es decir la operación en $G$ es asociativa. Llamemos $1_{G_i}$ al elemento neutro de $G_i$ y consideremos $e\in G$ definido mediante $e(i)=1_{G_i}.$ Entonces, para todo $f\in G$ y para todo $i\in I$, $$\begin{aligned}(fe)(i)=f(i)e(i)=f(i)1_{G_i}=f(i)\\ (ef)(i)=e(i)f(i)=1_{G_i}f(i)=f(i)
\end{aligned}$$ es decir, $fe=ef$ para todo $f\in G$ luego $e$ es elemento neutro en $G.$ Para cada $f\in G$ definamos el elemento $f^{-1}$ de $G$ mediante $f^{-1}(i)=f(i)^{-1}.$ Entonces, para todo $f\in G$ y para todo $i\in I$, $$\begin{aligned}(ff^{-1})(i)=f(i)f^{-1}(i)=f(i)f(i)^{-1}=1_{G_i}\\
(f^{-1}f)(i)=f^{-1}(i)f(i)=f(i)^{-1}f(i)=1_{G_i} \end{aligned}$$ es decir, $ff^{-1}=f^{-1}f=e$ para todo $f\in G$ luego $f^{-1}$ es elemento inverso de $f$ en $G.$ Concluimos que $G$ con la operación definida es grupo.
Nota. Los elementos del producto directo externo de grupos (producto cartesiano) sabemos que se pueden escribir en la forma $(x_i),$ en cuyo caso la operación en $G$ se puede expresar $(x_i)(y_i)=(x_iy_i).$ Por otra parte, es claro que si todos los $G_i$ son abelianos, también lo es su producto directo externo.