Polinomios de Chebyshev y número algebraico

RESUMEN. Usando los polinomios de Chebyshev demostramos que un número es algebraico.

Enunciado
(1) Los polinomios de Chebyshev $T_n(x)$ se definen mediante: $$T_0(x) = 1,\; T_1(x) = x,\; T_{n+2}(x) = 2xT_{n+1}(x) – T_{n}(x).$$ Demostrar que se verifica $T_n(\cos \theta)=\cos n\theta$ para todo $n\ge0$ y para todo $\theta\in\mathbb{R}$.
(2) Usando polinomios de Chebyshev, demostrar que para todo $n\ne 0$ el número $\cos (2\pi/n)$ es algebraico.

Solución
(1) Dado que $T_0(\cos \theta)=1=\cos 0\theta$ y que $T_1(\cos \theta)=\cos \theta=\cos 1\theta$ la igualdad a demostrar es cierta para $n=0$ y $n=1.$ Suponiendo que es cierta para $n$ y $n+1,$ $$T_{n+2}(\cos \theta)=2\cos \theta T_{n+1}(\cos \theta) – T_{n}(\cos \theta)$$ $$=2\cos \theta\cos (n+1)\theta-\cos n\theta.$$Usando la conocida relación $\cos A+\cos B=2\cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}$, $$\cos (n+2)\theta+\cos n\theta=2\cos (n+1)\theta\cos \theta$$ con lo cual $T_{n+2}(\cos \theta)=\cos (n+2)\theta$ y la igualdad queda demostrada por inducción.
2) Si $n > 0$, tomando $\theta=2\pi /n$ y usando el apartado anterior queda $$T_n(\cos (2\pi /n))=\cos (n(2\pi /n))=\cos 2\pi=1.$$ Si $n < 0$ queda $$T_{-n}(\cos (2\pi /n))=\cos ((-n)(2\pi /n))=\cos (-2\pi)=1.$$ Concluimos que para todo $n\ne 0$ el polinomio $T_n(x)-1\in \mathbb{Q}[x]$ anula al número real $\cos (2\pi/n)$, por tanto este número es algebraico sobre $\mathbb{Q}.$

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