Teorema fundamental del Álgebra

RESUMEN. Demostramos el teorema fundamental del Álgebra.

Teorema fundamental del Álgebra
(1) Todo polinomio $p(z)=a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\ldots a_1z+ a_0\in\mathbb{C}[z]$ con $n \ge 1$ y $a_n\ne 0$ tiene al menos una raíz compleja.
(2) Corolario. Todo polinomio $p(z)=a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\ldots a_1z+ a_0\in\mathbb{C}[z]$ con $n \ge 1$ y $a_n\ne 0$ se puede expresar en la forma $$p(z)=a_n(z-z_1)(z-z_2)\ldots (z-z_n)$$ en donde $z_1,z_2,\ldots,z_n$ son números complejos repetidos o no.

Solución
(1) Supongamos que $p(z)$ to tuviera ninguna raíz compleja, entonces $p(z)\ne 0$ para todo $z\in \mathbb{C}$ con lo cual $f(z)=1/p(z)$ sería analítica en $\mathbb{C}$. Tenemos, $$|f(z)|=\frac{1}{|p(z)|}=\frac{1}{|a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\ldots a_1z+ a_0|}$$ $$=\frac{1}{\left|z^n\left(a_n+\dfrac{a_{n-1}}{z}+\ldots+\dfrac{a_1}{z^{n-1}}+\dfrac{a_0}{z^n}\right)\right|}$$ $$=\dfrac{1}{|z|^n\left|a_n+\dfrac{a_{n-1}}{z}+\ldots+\dfrac{a_1}{z^{n-1}}+\dfrac{a_0}{z^n}\right|}.$$ Entonces, $\lim_{z\to \infty}|f(z)|=0$ lo cual implica que $f(z)$ está acotada en $\mathbb{C}$ y al ser analítica en $\mathbb{C}$, por el teorema de Liouville, $f(z)$ sería constante y también lo sería la función polinómica $p(z)$ lo cual es una contradicción pues el grado de $p(z)$ es $\ge 1.$ Queda pues demostrado el teorema fundamental del Álgebra.
(2) Por el apartado anterior, $p(z)$ tiene al menos una raíz compleja $z_1$ con lo cual, $$p(z)=a_n(z-z_1)q_1(z)\text{ con }q_1(z)\text{ polinomio de grado }n-1 \text{ mónico}.$$ De nuevo y por el apartado anterior, $p(z)=a_n(z-z_1)(z-z_2)q_2(z)$ y así sucesivamente.

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