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Archivo de la etiqueta: cardinales
Potenciación de cardinales
Definimos la potenciación de cardinales y demostramos algunas de sus propiedades Sean $A$ y $B$ dos conjuntos y $A^B=\{f:B\to A \text{ con } f\text{ aplicación} \}.$ Si $A$ y $B$ son finitos con $m$ y $n$ elementos respectivamente, el número … Sigue leyendo
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Producto de cardinales
Definimos el producto de cardinales y demostramos algunas de sus propiedades. Deinición. Sean $\mathfrak{a}=|A|$, y $\mathfrak{b}=|B|$ dos cardinales. Se define su producto como $\mathfrak{a}\mathfrak{b}=|A\times B|$. La operación está bien definida pues si $\mathfrak{a}=|A_1|$ y $\mathfrak{b}=|B_1|$ entonces existen biyecciones $f:A\to A_1$, … Sigue leyendo
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Suma de cardinales
Definimos la suma de cardinales y demostramos algunas propiedades. Si $\mathfrak{a}$ y $\mathfrak{b}$ son dos cardinales entonces, siempre existen conjuntos disjuntos $A$ y $B$ tales que $\mathfrak{a}=|A|$ y $\mathfrak{b}=|B|$. En efecto, si $\mathfrak{a}=|A^\prime|$ y $\mathfrak{b}=|B^\prime|$ basta elegir $A=A^\prime \times \{0\}$ … Sigue leyendo
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Cardinales infinitos no regulares
Demostramos que existen cardinales infinitos no regulares para la suma y el producto. Es decir, para cardinales $x,y,z$ no es cierto que $xz=yz\Rightarrow x=y$ (incluso si $z\ne 0$) ni que $x+z=y+z\Rightarrow x=y.$ Enunciado Se consideran los conjuntos $X=\{a\},$ $Y=\{b,c\},$ $\mathbb{N}$ … Sigue leyendo
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Cardinales de las sigma-álgebras contables
Demostramos que todas las sigma-álgebras contables tienen un número finito de elememtos que además es potencia de 2. Enunciado Sea $\mathcal{A}$ una $\sigma$-álgebra contable en $X,$ es decir $\mbox{card }(\mathcal{A})\leq\aleph_0$. Entonces, $\mathcal{A}$ es finita. Además, existe un $n $ natural … Sigue leyendo
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Etiquetado álgebras, cardinales, contables, sigma
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