Ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes (orden $ n $)

Publicada el marzo 19, 2014 por Fernando Revilla

Proporcionamoa ejercicios sobre la ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes y de orden $ n $.

RESUMEN TEÓRICO
  • Definición.  Se llama ecuación diferencial lineal real ordinaria con coeficientes constantes y de orden $n$ a toda ecuación de la forma: $$x^{(n)}+a_{n-1}x^{(n-1)}+\ldots+a_2x^{\prime\prime}+a_1x’+a_0x=0,\qquad (1)$$ en donde $a_i\;(i=0,1,\ldots,n-1)$ son constantes reales y $x=x(t)$ es función real de la variable real $t.$
  • Teorema.  $(a)$ El conjunto $S$ de las funciones $x;\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ que son soluciones de la ecuación diferencial (1) tiene estructura de espacio vectorial real con las operaciones usuales. $(b) $ $\dim S=n.$
  • Nota.  Como consecuencia, encontrando una base $B=\{x_1(t),\ldots,x_n(t)\}$ de $S$ tendremos resuelta la ecuación pues todas las soluciones de (1) vendrán expresadas en la forma $$x(t)=C_1x_1(t)+\ldots+C_nx_n(t)\quad (C_1,\ldots,C_n\in\mathbb{R}).$$
  • Definición.  Se llama ecuación característica de la ecuación diferencial (1) a la ecuación algebraica $$\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\ldots+a_2\lambda^2+a_1\lambda+a_0=0.$$
  • Método.  Se demuestra que se obtiene una base del espacio de las soluciones de una ecuación diferencial lineal real homogénea de coeficientes constantes, eligiendo funciones de las siguiente manera:
    $(a)$ Por cada raíz real simple $\lambda$ de la ecuación característica elegimos la función $e^{\lambda t}.$
    $(b)$ Por cada raíz real $\lambda$ de multiplicidad $k$ de la ecuación característica elegimos las funciónes: $\quad e^{\lambda t}\;,\;te^{\lambda t}\;,\;t^2e^{\lambda t}\;,\;\ldots\;,\;t^{k-1}e^{\lambda t}.$
    $(c)$ Por cada raíz compleja $a+bi$ simple de la ecuación característica elegimos las funciones: $\quad e^{at}\cos bt\;,\;e^{at}\sin bt.$
    $(d)$ Por cada raíz compleja $a+bi$ de multiplicidad $k$ de la ecuación característica elegimos las funciones  $$e^{at}\cos bt\;,te^{at}\cos bt\;,t^2\cos bt\;.\;\ldots,\;t^{k-1}e^{at}\cos bt,$$  y las funciones $$e^{at}\sin bt\;,te^{at}\sin bt\;,t^2\sin bt\;.\;\ldots,\;t^{k-1}e^{at}\sin bt.$$
  • Nota.  Como la ecuación característica tiene coeficientes reales por cada raíz compleja $a+bi$, aparece su conjugada $a-bi.$ Por esta conjugada no elegimos ninguna función.
    Enunciado
  1. Hallar la solución general de la ecuación diferencial $x^{\prime\prime\prime}-2x^{\prime\prime}-3x’=0.$
  2. Hallar la solución general de la ecuación diferencial $x^{\prime\prime\prime}+2x^{\prime\prime}+x’=0.$ Hallar la solución particular que cumple $x(0)=4,x'(0)=2,x^{\prime\prime}(0)=-7.$
  3. Hallar la solución general de la ecuación diferencial $x^{\prime\prime\prime}+4x^{\prime\prime}+13x’=0.$
  4. Hallar la solución general de la ecuación diferencial  $$x^{(4)}+4x^{(3)}+8x^{\prime\prime}+8x’+4x=0.$$
  5. Encontrar una ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes que tenga las soluciones: $\cosh t\sin t,\;\sinh t\cos t,\;t.$
    Solución
  1. La ecuación característica es $\lambda^3-2\lambda^2-3\lambda=0$ cuyas raíces son $0,-1,3$ (simples). Una base del espacio de las soluciones es $\{e^{0t},e^{-t},e^{3t}\}=\{1,e^{-t},e^{3t}\}.$ La solución general de la ecuación es por tanto $x=C_1+C_2e^{-t}+C_3e^{3t}.$
  2. La ecuación característica es $\lambda^3+2\lambda^2+\lambda=0$ cuyas raíces son $0$ (simple) y $-1$ (doble). Una base del espacio de las soluciones es $\{1,e^{-t},te^{-t}\}.$ La solución general de la ecuación es por tanto $x=C_1+(C_2+C_3t)e^{-t}.$ Hallemos la solución particular pedida. Tenemos: $$\left \{ \begin{matrix}x=C_1+(C_2+C_3t)e^{-t}\\x’=(C_3-C_2-C_3t)e^{-t}\\x^{\prime\prime}=(C_2-2C_3-C_3t)e^{-t}.\end{matrix}\right.$$ Imponiendo las condiciones $x(0)=4,x'(0)=2,x^{\prime\prime}(0)=-7$ : $$ \left \{ \begin{matrix} C_1+C_2=4\\-C_2+C_3=2\\C_2-2C_3=-7\end{matrix}\right.$$ Resolviendo obtenemos $C_1=1,C_2=3,C_3=5$, por tanto la solución particular pedida es $x=1+(3+5t)e^{-t}.$
  3. La ecuación característica es $\lambda^3+4\lambda^2+13\lambda=0$ cuyas raíces son $0$ y $-2\pm 3i$ (simples). Una base del espacio de las soluciones es $\{1,e^{-2t}\cos 3t,e^{-2t}\sin 3t\}.$  La solución general de la ecuación es por tanto $$x=C_1+(C_2\cos 3t+C_3\sin 3t)e^{-2t}.$$
  4. La ecuación característica es $\lambda^4+4\lambda^3+8\lambda^2+8\lambda+4=0=0.$ Observemos que podemos escribirla en la forma $(\lambda^2+2\lambda+2)^2=0.$ La raíces de $\lambda^2+2\lambda+2=0$ son $-1\pm i$ (simples) por tanto las de la ecuación característica son $-1\pm i$ (dobles). Una base del espacio de las soluciones es $$\{e^{-t}\cos t,\;te^{-t}\cos t,\;e^{-t}\sin t,\;te^{-t}\sin t\}.$$ La solución general  es por tanto $$x=e^{-t}[(C_1+C_2t)\cos t+(C_3+C_4t)\sin t].$$
  5. La solución $t=te^{0t}$ proviene necesariamente de la raíz $0$ (doble) de la ecuación característica. Por otra parte $$\cosh t\sin t=\dfrac{1}{2}e^t\sin t+\dfrac{1}{2}e^{-t}\sin t\;,\;\sinh t\cos t=\dfrac{1}{2}e^t\cos t-\dfrac{1}{2}e^{-t}\cos t.$$ Dado que el conjunto de las soluciones es un espacio vectorial, para que tenga las dos soluciones anteriores basta que tenga las soluciones $e^t\sin t,\;e^t\cos t$  que proviene de la raíz $-1+i$ (simple). La ecuación característica correspondiente es por tanto $$(\lambda-0)^2[\lambda-(1+i)][\lambda-(1-i)][\lambda-(-1+i)][\lambda-(-1-i)]=0.$$ Operando obtenemos $\lambda^6+\lambda^2=0$, que proporciona la ecuación $x^{(6)}+x^{\prime\prime}=0.$
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