Serie de Taylor por división en potencias crecientes

RESUMEN. Usamos la división en potencias crecientes para estudiar una serie de Taylor.

Enunciado
Se considera la función de variable compleja $$f\left(z\right)=\dfrac{z^2}{\left(\sin^2 z\right)\cos z}.$$ (a) Hallar sus singularidades.
(b) Demostrar que $z=0$ es singularidad evitable de $f.$
(c) Determinar el desarrollo de Taylor de $f(z)$ alrededor de $z=0$ hasta orden $2$ inclusive.
Sugerencia. Usar división según potencias crecientes.
(d) Determinar el radio de convergencia de la serie de Taylor de $f$ centrada en el origen.

Solución
(a) Las singularidades de $f$ se obtienen para los valores de $z$ tales que $\sin z=0$ o $\cos z=0.$ Tenemos $$\sin z=0\Leftrightarrow \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}=0\Leftrightarrow e^{iz}-\frac{1}{e^{iz}}=0\Leftrightarrow e^{2iz}=1$$ $$\Leftrightarrow e^{2i(x+iy)}=1\Leftrightarrow e^{-2y+2xi}=1\Leftrightarrow e^{-2y}(\cos 2x+i\sin 2x)=1$$ $$\Leftrightarrow e^{-2y}=1\wedge \cos 2x =1\wedge \sin 2x=0 \Leftrightarrow y=0 \wedge 2x= 2k\pi\;(k\in\mathbb{Z}),$$ lo cual proporciona los puntos singulares $z=k\pi\;(k\in\mathbb{Z}).$ Por otra parte $$\cos z=0\Leftrightarrow \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}=0\Leftrightarrow e^{iz}+\frac{1}{e^{iz}}=0\Leftrightarrow e^{2iz}=-1$$ $$\Leftrightarrow e^{2i(x+iy)}=-1\Leftrightarrow e^{-2y+2xi}=-1\Leftrightarrow e^{-2y}(\cos 2x+i\sin 2x)=-1$$ $$\Leftrightarrow e^{-2y}=1\wedge \cos 2x =-1\wedge \sin 2x=0 \Leftrightarrow y=0 \wedge 2x= (2k+1)\pi\;(k\in\mathbb{Z}),$$ lo cual proporciona los puntos singulares $z=\pi/2+k\pi\;(k\in\mathbb{Z}).$
(b) Efectivamente, $$\lim_{z\to 0}f(z)=\lim_{z\to 0}\dfrac{z^2}{\left(\sin^2 z\right)\cos z}\underbrace{=}_{z\sim\sin z\text{ si }z\to 0}\lim_{z\to 0}\dfrac{1}{\cos z}=1,$$ con lo cual y según el conocido teorema de Riemann, asignando a $f(0)$ el valor $1$ obtenemos una función analítica en $|z| < r.$ En nuestro caso para $|z| < \pi/2$ pues $z=\pm \pi/2$ son las singularidades de $f$ más proximas a $0$ (y claramente no evitables).
(c) Usando los desarrollos en serie de Maclaurin de $\sin z$, $\cos z$ y la división según potencias crecientes, $$f\left(z\right)=\dfrac{z^2}{\sin^2 z\cos z}=\displaystyle\frac{z^2}{\left(z-\displaystyle\frac{z^3}{3|}+\ldots\right)^2\left(1-\displaystyle\frac{z^2}{2!}+\ldots\right)}$$ $$=\displaystyle\frac{z^2}{z^2-\displaystyle\frac{5}{6}z^4+\ldots}=1+\displaystyle\frac{5}{6}z^2+\ldots$$ (d) Por un conocido teorema, el radio de convergencia $R$ pedido es la distancia de $0$ a la singularidad más próxima, en nuestro caso, $R=d(0,\pi/2)=\pi/2$.

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