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Archivo de la etiqueta: integración
Integración de funciones irracionales (1)
Enunciado Calcular $\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{3x+1}-\sqrt[4]{3x+1}}.$ Calcular $\displaystyle\int\frac{x^3\;dx}{\sqrt{x+2}}.$ Calcular $I=\displaystyle\int\frac{dx}{(2x-5)^{2/3}-(2x-5)^{1/2}}.$ Solución Si $t^4=3x+1,$ entonces $4t^3dt=3\;dx,$ por tanto: $$\begin{aligned}& \displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{3x+1}-\sqrt[4]{3x+1}}=\frac{4}{3}\int\frac{t^3\;dt}{t^2-t}=\frac{4}{3}\int\frac{t^2\;dt}{t-1}\\&=\frac{4}{3}\int\left(t+1+\frac{1}{t-1}\right)dt=\frac{4}{3}\left(\frac{t^2}{2}+t+\log \lvert t-1\rvert\right)+C\\&=\frac{2}{3}\sqrt{3x+1}+\frac{4}{3}\sqrt[4]{3x+1}+\lvert \sqrt[4]{3x+1}-1\rvert+C. \end{aligned}$$ Si $t^2=x+2,$ entonces $2t\;dt=dx,$ por tanto: $$\begin{aligned}&\int\frac{x^3\;dx}{\sqrt{x+2}}=2\int\frac{(t^2-2)^3t\;dt}{t}=2\int (t^2-2)^3\;dt=\\ &=2\int (t^6-6t^4+12t^2-8)\;dt=2\left(\frac{t^7}{7}-\frac{6t^5}{5}+4t^3-8t\right)+C. \end{aligned}$$ Sustituyendo $t=\sqrt{x+2}$ y simplificando: $$\int\frac{x^3\;dx}{\sqrt{x+2}}=\frac{2\sqrt{x+2}}{35}\left(5(x+2)^3-42(x+2)^2+140(x+2)-280\right)+C.$$ Si $t^6=2x-5,$ entonces $6t^5\;dt=2\;dx,$ … Sigue leyendo
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Etiquetado (-1, funciones, integración, irracionales
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Integración de funciones racionales (3)
Enunciado Calcular $\displaystyle\int \frac{dx}{x^3-1}.$ Calcular $I=\displaystyle\int \frac{x\;dx}{x^4-2x^3+2x^2-2x+1}.$ Solución El denominador tiene la raíz $x=1.$ Aplicando la regla de Ruffini, obtenemos $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1),$ y el polinomio $x^2+x+1$ no tiene raíces reales. La descomposición en suma de fracciones simples es:$$\begin{aligned}&\frac{1}{x^3-1}=\frac{1}{(x-1)(x^2+x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+x+1}\\ &=\frac{A(x^2+x+1)+(Bx+C)(x-1)}{(x-1)(x^2+x+1)}.\end{aligned}$$ Igualando numeradores … Sigue leyendo
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Etiquetado 3, funciones, integración, racionales
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Integración de funciones racionales (2)
Enunciado Calcular $\displaystyle\int \dfrac{dx}{3x^2-x+1}.$ Calcular $\displaystyle\int\frac{4x-5}{3x^2-x+1}dx.$ Sea el trinomio $ax^2+bx+c\;(a>0).$ Demostrar que si dicho trinomio no tiene raíces reales, entonces $$\displaystyle\int\dfrac{dx}{ax^2+bx+c}=\frac{2}{\sqrt{4ac-b^2}}\arctan \dfrac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}}+C.$$ Solución El denominador no tiene raíces. Completemos cuadrados: $$3x^2-x+1=3(x+k)^2+l=3x^2+6kx+3k^2+l.$$ Identificando coeficientes, $3=3,$ $6k=-1,$ $3k^2+l=1.$ Resolviendo, queda $k=-1/6$ y … Sigue leyendo
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Etiquetado 2, funciones, integración, racionales
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Integración de funciones racionales (1)
Enunciado Calcular $\displaystyle\int \dfrac{dx}{x^2-5x+6}.$ Calcular $\displaystyle\int \dfrac{x^3\;dx}{x^3-2x^2-x+2}.$ Calcular $\displaystyle\int \dfrac{dx}{x^4-x^3}.$ Calcular $\displaystyle\int \dfrac{(x+1)\;dx}{(x^2+x-2)^2}.$ Solución Las raíces del polinomio $x^2-5x+6$ son $x=2$ y $x=3,$ por tanto $x^2-5x+6=(x-2)(x-3).$ Tenemos:$$\dfrac{1}{(x-2)(x-3)}=\dfrac{A}{x-2}+\dfrac{B}{x-3}=\dfrac{A(x-3)+B(x-2)}{(x-2)(x-3)}.$$ Igualando numeradores y dando a $x$ los valores $x=2$ y $x=3,$ obtenemos $A=-1$ … Sigue leyendo
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Etiquetado (-1, funciones, integración, racionales
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Integración por partes
Proporcionamos ejercicios sobre el método de integración por partes. Enunciado Usando integración por partes, calcular: $a)\;\displaystyle \int\log x\;dx.\quad b)\;\displaystyle \int xe^xdx.\quad c)\;\displaystyle \int x^2e^xdx.$ Usando integración por partes, calcular: $a)\;\displaystyle \int \arctan x\;dx.\quad b)\;\displaystyle \int x \cos 5x\;dx.\quad c)\;\displaystyle \int … Sigue leyendo
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