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Igualdad integral $\int_{\pi}^{+\infty}\frac{\sin t}{t\log^2 t}dt=\int_{\pi}^{+\infty}\frac{\cos t}{\log t}dt$

Enunciado Demostrar la  igualdad entre las  integrales impropias $$I=\displaystyle\int_{\pi}^{+\infty}\displaystyle\frac{\sin t}{t\log^2 t}dt,\quad J=\displaystyle\int_{\pi}^{+\infty}\displaystyle\frac{\cos t}{\log t}dt.$$ Solución En $[\pi,+\infty)$, tenemos $$\left|\displaystyle\frac{\sin t}{t\log^2 t}\right|\leq{\displaystyle\frac{1}{t\log^2 t}}.$$ Efectuando el cambio $x=\log t:$ $$\int_{\pi}^{+\infty}\displaystyle\frac{dt}{t\log^2 t}=\int_{\log \pi}^{+\infty}\displaystyle\frac{dx}{x^2}\text{ (convergente)}$$ por tanto $I$ es absolutamente convergente y como consecuencia, … Sigue leyendo

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Número combinatorio $\binom{2n}{n}$ e integral

Expresamos el número combinatorio $\binom{2n}{n}$ en términos de una integral definida. Enunciado Para todo entero positivo $n$, demostrar la relación $$\displaystyle\binom{2n}{n}=\frac{2^{2n}}{(2n+1)\int_0^1(1-x^2)^ndx}.$$ Solución Integrando por partes con $u=(1-x^2)^n$ y $dv=dx$ tenemos $$\int_0^1(1-x^2)^ndx =\left[ x(1-x^2)^n\right]_0^1+2n\int_0^1x^2(1-x^2)^{n-1}dx$$ $$=0-2n\int_0^1(1-x^2-1)(1-x^2)^{n-1}dx$$ $$=-2n\int_0^1(1-x^2)^ndx+2n\int_0^1(1-x^2)^{n-1}dx.$$Obtenemos por tanto la relación $$\int_0^1(1-x^2)^ndx=\frac{2n}{2n+1}\int_0^1(1-x^2)^{n-1}dx.$$ … Sigue leyendo

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