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Archivo de la etiqueta: funciones
Funciones hiperbólicas complejas
Definimos las funciones hiperbólicas complejas, que generalizan a las trigonométricas reales. Enunciado Demostrar las relaciones $$\begin{aligned}&\cosh^2z-\operatorname{senh}^2z=1,\\& 1-\tanh^2z=\operatorname{sech}^2z,\\&\coth^2z-1=\operatorname{csch}^2z.\end{aligned}$$ Demostrar las relaciones $$\operatorname{senh}(-z)=-\operatorname{senh}z,\quad \cosh (-z)=\cos z,\quad \tanh (-z)=-\tanh z.$$ Demostrar las relaciones $$\begin{aligned}&a)\;\;\operatorname{senh}(z_1\pm z_2)=\operatorname{senh}z_1\cosh z_2\pm \cosh z_1\operatorname{senh}z_2,\\ &b)\;\;\cosh(z_1\pm z_2)=\cosh z_1\cosh z_2\pm \operatorname{senh} … Sigue leyendo
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Funciones trigonométricas complejas
Definimos las funciones trigonométricas complejas, que generalizan a las trigonométricas reales. Enunciado Demostrar que las funciones seno y coseno complejos son una generalización de las correspondientes seno y coseno reales. Demostrar las relaciones $$\begin{aligned}&\operatorname{sen}^2z+\cos^2z=1,\\& 1+\tan^2z=\sec^2z,\\&1+\cot^2z=\csc^2z.\end{aligned}$$ Demostrar las relaciones $$\operatorname{sen}(-z)=-\operatorname{sen}z,\quad \cos … Sigue leyendo
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Ceros de las funciones analíticas
Enunciado Hallar los ceros de la función $f(z)=z^4+4z^2$ y determinar sus órdenes. Hallar los ceros de $f(z)=1+\cos z$ y determinar sus multiplicidades. Hallar el orden del cero $z_0=0$ para la función $f(z)=\dfrac{z^8}{z-\sin z}.$ Hallar los ceros de la función $f(z)=(z^2+1)^3\sinh … Sigue leyendo
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Etiquetado analíticas, ceros, funciones
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Suma de series numéricas por desarrollos en serie de funciones
Calculamos suma de series numéricas por desarrollos en serie de funciones Enunciado Hallar la suma de las siguientes series, usando para ello desarrollos en serie conocidos. $$1)\;2+\dfrac{8}{6}+\dfrac{32}{120}+\dfrac{128}{5040}+\cdots.\quad 2)\;1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{24}+\dfrac{1}{720}+\cdots.$$ Hallar la suma de las siguientes series, usando para ello desarrollos en … Sigue leyendo
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Etiquetado funciones, numéricas, series, suma
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Funciones holomorfas $\;f: \text{Re} (f) + \text{Im} (f) =1$
Enunciado Encontrar todas las funciones holomorfas $f(z),\;z\in \mathbb{C}$ que satisfacen la condición $a\;\mbox{Re }f(z)+b\;\mbox{Im }f(z)=1$ siendo $a,b$ constantes reales no simultáneamente nulas. (Propuesto en examen, Amp. Calc., ETS de Ing. Industriales, UPM). Solución Denotando $f=u+iv$ en donde $u=\mbox{Re }f,\;v=\mbox{Im }f,$ … Sigue leyendo
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Etiquetado funciones, holomorfas, Re (f) + Im (f) =1
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