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Archivo de la etiqueta: funciones
Funciones de orden exponencial
Definimos el orden exponencial de una función y proporcionamos ejemplos. Enunciado Una función $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ se dice que es de orden exponencial si, y sólo si existen $\alpha\in\mathbb{R},$ $t_0>0,$ $M>0$ tales que $$\left|f(t)\right|<Me^{\alpha t}\text{ si } t>t_0.$$ Demostrar que toda función … Sigue leyendo
Publicado en Ecuaciones diferenciales
Etiquetado exponencial, funciones, orden
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Límites de funciones por la definición
Proporcionamos ejercicios de límites de funciones por la definición. Enunciado Demostrar que: $$a)\;\lim_{x\to 1}\;(2x+3)=5.\quad b)\; \lim_{x\to 2}\;\left(\frac{2}{3}x-1\right)=\frac{1}{3}.\quad c)\; \lim_{x\to 1/2}\;(-x-1)=-\frac{3}{2}.$$ Demostrar que $\;\;a)\;\displaystyle\lim_{x\to 0}x^2=0.\quad b)\;\lim_{x\to 0}x^3\operatorname{sen}x=0.$ Demostrar que: $\displaystyle\lim_{x\to 2}\;\left(x^2+x-2\right)=4.$ Demostrar que $\displaystyle\lim_{x\to 3} \frac{2}{x+1} =\frac{1}{2}.$ Demostrar que $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x}=0.$ … Sigue leyendo
Publicado en Análisis real y complejo
Etiquetado definición, funciones, límites
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Espacio de Banach de las funciones continuas con la norma del supremo
En este problema se demuestra que el espacio vectorial $\mathcal{C}(I)$ de las funciones continuas (reales o complejas) definidas en $I=[a,b]$ es un espacio de Banach con la norma del supremo. Enunciado Sea $I=[a,b]$ intervalo cerrado de la recta real y … Sigue leyendo
Desarrollos en serie de Maclaurin de las funciones habituales
En los siguientes ejercicios, deducimos los desarrollos en serie de Maclaurin de las funciones habituales. Enunciado Demostrar que $$e^x=1+\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^2}{2!}+\cdots +\dfrac{x^n}{n!}+\cdots =\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{x^k}{k!}\quad\left(\forall x\in\mathbb{R}\right).$$ y que si $a>0,$ $$a^x=1+\dfrac{x\log a}{1!}+\dfrac{x^2\left(\log a\right)^2}{2!}+\cdots +\dfrac{x^n\left(\log a\right)^n}{n!}+\cdots =\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{x^k\left(\log a\right)^k}{k!}$$ para todo $x\in\mathbb{R}.$ Demostrar que $$\operatorname{ch}{x}=1+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}+\cdots +\dfrac{x^{2n}}{(2n)!}+\cdots=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{x^{2k}}{(2k)!}\quad\left(\forall … Sigue leyendo
Publicado en Análisis real y complejo
Etiquetado desarrollos, funciones, habituales, Maclaurin, serie
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Convergencia uniforme de sucesiones de funciones
Proporcionamos ejercicios sobre la convergencia uniforme de sucesiones de funciones. Enunciado Demostrar que la sucesión de funciones $$f_n:(-1,1)\to \mathbb{R},\quad f_n(x)=x^n$$ converge puntualmente en $(-1,1)$ pero no uniformemente. Se considera la sucesión de funciones: $$f_n:(0,+\infty)\to \mathbb{R},\quad f_n(x)=e^{-n^2x^2}.$$ Determinar la función límite … Sigue leyendo
Publicado en Análisis real y complejo
Etiquetado convergencia, funciones, sucesiones, uniforme
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