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Archivo de la etiqueta: raíces
Raíces de $f(x)=x^3+\beta x^2-\overline{\beta}x-1$
Calculamos las raíces de un determinado polinomio complejo. Enunciado Sea $f(x)\in \mathbb{C}[x],\quad f(x)=x^3+\dfrac{1+\sqrt{7}i}{2}x^2-\dfrac{1-\sqrt{7}i}{2}x-1.$ Comprobar que $f(x^2)=-f(x)f(-x).$ Demostrar que si $a$ es un cero de $f(x),$ entonces $\left|a\right|=1.$ Demostrar que si $1,j,j^2$ son las raíces cúbicas de la unidad, dichas raíces … Sigue leyendo
Publicado en Álgebra
Etiquetado $f(x)=x^3+beta x^2-overline{beta}x-1$, raíces
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Raíces múltiples de polinomios
Proporcionamos ejercicios sobre raíces múltiples de polinomios. Enunciado Sea $\mathbb{K}$ un cuerpo de característica distinta de $0,$ $a$ es un elemento del cuerpo $\mathbb{K}$ y $p(x)\in\mathbb{K}[x].$ Demostrar que si $a$ es raíz de orden $k\geq 1$ de $p(x),$ entonces $a$ … Sigue leyendo
Publicado en Álgebra
Etiquetado múltiples, polinomios, raíces
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Descomposición de un polinomio en suma de productos de raíces
Demostramos la existencia de la descomposición de un polinomio en suma de productos de raíces. Enunciado Se consideran $n$ elementos $x_1,x_2,\ldots,\;x_n$ de un cuerpo $\mathbb{K}$ y un polinomio $p(x)$ con coeficientes en $\mathbb{K}$ y de grado menor o igual que … Sigue leyendo
Cotas de las raíces de un polinomio
En este problema, damos cotas de las raíces de un polinomio. Enunciado Sea $f(z)=a_nz^n+\ldots +a_1z+a_0\in\mathbb{C}[z]$ con $a_n\neq 0$ y $c$ una raíz de $f(z)$. Demostrar que $|c|\leq M$ siendo $$M=\max\left \{\left(n\left| \frac{a_{i-1}}{a_n}\right|\right)^{1/i}:i=1,\ldots,n\right\}.$$ Solución Supongamos que $\left|z\right|>M$, entonces $$\left|z\right|>\left(n\left|\dfrac{a_{i-1}}{a_n}\right|\right)^{\frac{1}{i}}\;(\forall i=1,\ldots,n)\Rightarrow \left|z\right|^i>n\dfrac{\left|a_{i-1}\right|}{\left|a_n\right|}\;\;(\forall … Sigue leyendo
Desigualdad y número de raíces
Relacionamos una desigualdad con el número de ceros de una función. Enunciado Demostrar la desigualdad: $$\dfrac{1}{e}\geq \dfrac{\log x}{x}\;,\quad \forall{x>0}.$$ Hallar razonadamente el número exacto de soluciones de la ecuación$$e(\log x)^2=2x.$$ (Propuesto en examen, Cálculo, ETS de Ing. de Montes, UPM). … Sigue leyendo
Publicado en Análisis real y complejo
Etiquetado desigualdad, número, raíces
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