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Archivo de la etiqueta: producto
Producto de Cauchy de series igual a la unidad
Enunciado Usando el producto de Cauchy de series, demostrar que $$\left(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}\right)\cdot \left(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-x)^n}{n!}\right)=1.$$ Dar una obvia interpretación de la igualdad anterior. Solución Aplicando el criterio de D’Alembert a ambas series para $x\ne 0,$ $$\lim_{n\to +\infty}\left|\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\right|:\left|\frac{n!}{x^n}\right|=\lim_{n\to +\infty}\frac{\left|x\right|}{n+1}=0<1,$$ $$\lim_{n\to +\infty}\left|\frac{(-x)^{n+1}}{(n+1)!}\right|:\left|\frac{n!}{(-x)^n}\right|=\lim_{n\to +\infty}\frac{\left|x\right|}{n+1}=0<1,$$ lo cual … Sigue leyendo
Métrica producto $d(x,y)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{2^n}\frac{d_n(x_n,y_n)}{1+d_n(x_n,y_n)}$
Construimos una métrica producto sobre un producto numerable de espacios métricos. Enunciado Sea $\{(X_i,d_i):i\in\mathbb{N}^*\}$ una colección numerable de espacios métricos y sea $X=\prod_{i=1}^{\infty}X_i.$ Demostrar que: $$d:X\times X\to \mathbb{R}_{\ge 0},\quad d\left[(x_n),(y_n)\right]=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{2^n}\frac{d_n(x_n,y_n)}{1+d_n(x_n,y_n)}$$ define una métrica en $X$ (se la denomina métrica producto). … Sigue leyendo
Publicado en Miscelánea matemática
Etiquetado $d(x, métrica, producto, y_n)}{1+d_n(x_n, y_n)}$, y)=displaystylesum_{n=1}^{+infty}frac{1}{2^n}frac{d_n(x_n
Comentarios desactivados en Métrica producto $d(x,y)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{2^n}\frac{d_n(x_n,y_n)}{1+d_n(x_n,y_n)}$
Suma y producto de valores propios
Calculamos la suma y el producto de los valores propios de una matriz diagonalizable. Enunciado Se considera la matriz real$$A=\begin{bmatrix}{1}&{5}&{6}\\{5}&{0}&{3}\\{6}&{3}&{4}\end{bmatrix}.$$Hallar la suma y el producto de sus valores propios sabiendo que es diagonalizable. Solución Por hipótesis, existe $P\in\mathbb{R}^{3\times 3}$ invertible … Sigue leyendo
Expresión matricial del producto escalar complejo
Proporcionamos ejercicios sobre la expresión matricial del producto escalar complejo. Enunciado Si $E$ es espacio unitario de dimensión $n$ y $B=\{e_1,\ldots,e_n\}$ es una base de $E,$ demostrar que para todo $x,y\in E$ $$\left<x,y\right>=X^tG\overline{Y},\text{ con } G=\begin{pmatrix} \langle e_1,e_1\rangle & \langle … Sigue leyendo
Concepto de producto escalar complejo, espacio unitario
Proporcionamos ejercicios sobre los conceptos de producto escalar complejo y espacio unitario. Enunciado Demostrar que en todo espacio unitario $E$ y para todo $\lambda\in\mathbb{C},$ $x,y,z\in E$ se verifica $\begin{aligned}&a)\;\langle x,y+z\rangle=\langle x,y\rangle+\langle x,z\rangle.\\&b)\; \langle x,\lambda y\rangle=\overline{\lambda}\langle x,y\rangle.\\&c)\;\langle x,0\rangle=\langle 0, y\rangle=0.\end{aligned}$ Dados … Sigue leyendo
