Álgebra

Proporcionamos una colección de problemas resueltos de Álgebra. Se irán añadiendo otros sucesivamente.

    Conjuntos
  1. Concepto de conjunto
  2. Inclusión de conjuntos. Conjunto vacío
  3. Unión e intersección de conjuntos
  4. Propiedades de la unión e intersección
  5. Cardinal de la unión de tres conjuntos
  6. Partes de un conjunto, complementario y diferencia
  7. Relaciones de inclusión y pertenencia
  8. Propiedades del complementario
  9. Simplificaciones en las partes de un conjunto
  10. Diagramas de Venn
  11. Producto cartesiano
  12. Unión e intersección generalizadas
  13. Función característica
  14. Diferencia simétrica: propiedad asociativa
  15. Partes de uniones e intersecciones
  16. Cardinales de las sigma-álgebras contables
  17. Límite de una sucesión de conjuntos
  18. Cardinal de la unión de $n$ conjuntos
  19. Relaciones
  20. Concepto de relación binaria
  21. Relación de equivalencia, conjunto cociente
  22. Partición de un conjunto
  23. Concepto de relación de orden
  24. Máximo, mínimo, cotas
  25. Supremo, ínfimo, maximales y minimales
  26. Orden total, buen orden
  27. Diagramas de Hasse
  28. Relación de equivalencia en $\mathbb{R}[x]$
  29. Tres relaciones en $\mathbb{N}$
  30. Finura de las relaciones de orden
  31. Orden lexicográfico
  32. Funciones
  33. Concepto de función
  34. Composición de funciones
  35. Aplicaciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas
  36. Aplicación identidad, aplicación inversa
  37. Imágenes directas e inversas de conjuntos
  38. Biyección entre $(-1,1)$ y $\mathbb{R}$
  39. Aplicación involutiva
  40. Factorización canónica de la función seno
  41. Estudio de la biyectividad de $f(X)=(A\cap X,B\cap X)$
  42. Cardinales infinitos no regulares
  43. Grupos
  44. Concepto de grupo
  45. Primeras propiedades de los grupos
  46. Subgrupos
  47. Tabla de Cayley
  48. Generadores de un grupo, grupo cíclico
  49. Subgrupos normales
  50. Subgrupo normal y centro
  51. Grupo cociente
  52. Grupo de clases residuales
  53. Homomorfismos de grupos
  54. Núcleo e imagen de un homomorfismo de grupos
  55. Clasificación de homomorfismos de grupos
  56. Descomposición canónica de un homomorfismo de grupos
  57. Grupo de las partes con la diferencia simétrica
  58. Tres igualdades en un grupo.
  59. Grupo no cíclico
  60. Grupo de funciones matriciales
  61. Conjunto, grupo y aplicación
  62. Relación y operaciones en el plano
  63. Grupo de aplicaciones afines.
  64. Centro de un grupo de matrices
  65. Grupo construido por biyección
  66. Conmutador y subgrupo derivado
  67. Todo grupo de orden 4 es abeliano
  68. Grupo de Klein y sus automorfismos
  69. Los grupos $\mathbb{R}^\times$ y $\mathbb{C}^\times$ no son isomorfos
  70. Todo grupo de orden primo es cíclico
  71. Grupos de orden 4
  72. Grupos de orden 6
  73. Anillos y cuerpos
  74. Concepto de anillo
  75. Anillo de sucesiones
  76. Producto directo de anillos
  77. Anillos: notaciones y propiedades
  78. Grupo multiplicativo de las unidades
  79. Anillo de los enteros de Gauss
  80. Anillo de clases residuales
  81. Anillos de integridad
  82. Subanillos
  83. Homomorfismos de anillos
  84. Ideales de un anillo
  85. Ideal de las sucesiones nulas
  86. Ideal bilátero f (I).
  87. Anillo cociente
  88. Descomposición canónica de un homomorfismo de anillos
  89. Concepto de cuerpo
  90. Cuerpos $\mathbb{Z}_p$
  91. Característica de un cuerpo
  92. Homomorfismos entre cuerpos
  93. Anillo según parámetro
  94. Anillo y grupo de matrices
  95. Máximo común divisor en los enteros de Gauss
  96. Dominio de integridad no euclídeo
  97. Una unidad en el anillo cociente $\mathbb{Q}[X] / I$
  98. Binomio de Newton en un anillo
  99. Anillo de las funciones reales
  100. Anillo idempotente
  101. Intersección de subcuerpos
  102. Cuerpo infinito con característica finita
  103. Cuerpo conmutativo con función sobre $\mathbb{R}^+$
  104. Cuaternios de Hamilton
  105. Cuerpo con 25 elementos (vídeo)
  106. Los grupos aditivo y multiplicativo de un cuerpo no son isomorfos
  107. Ideal maximal en el anillo de las funciones de clase infinito
  108. Semianillo tropical
  109. Unidades en el anillo de las series formales $A[[X]]$
  110. Caracterización de anillos noetherianos
  111. El anillo de las funciones continuas no es noetheriano
  112. Ideal generado por un subconjunto de un anillo
  113. $R$ dominio de integridad y no cuerpo, implica $R[x]$ no es dominio de ideales principales
  114. Cardinal de un cuerpo finito
  115. Cuerpo $\mathbb{Q}(\sqrt{5},i)$
  116. Los complejos no pueden ser un cuerpo ordenado
  117. $\langle 2, x \rangle$ no es ideal principal en $\mathbb{Z}[x]$
  118. Caracterizaciones de cuerpos
  119. Inverso de un elemento en $\mathbb{Q}/\langle x^2+x+1 \rangle $
  120. Cuerpo primo
  121. Un cuerpo de matrices isomorfo al de los complejos
  122. Anillos $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$
  123. Sistemas lineales
  124. Sistemas lineales escalonados
  125. Reducción gaussiana
  126. Sistemas lineales según parámetros
  127. Sistemas lineales, método de Gauss: problemas diversos
  128. Matrices
  129. Concepto de matriz, suma de matrices
  130. Grupo aditivo de las matrices sobre un cuerpo
  131. Producto de un escalar por una matriz
  132. Multiplicación de matrices
  133. Inversa de una matriz
  134. Inversa de orden n por el método de Gauss
  135. Inversa de orden n por sistema de columnas
  136. Ecuaciones y sistemas matriciales
  137. Transposición de matrices
  138. Descomposición $A=uv^t$
  139. Matriz nilpotente e inversa
  140. Potencia enésima de matrices por binomio de Newton
  141. Traza de una matriz, propiedades
  142. Matrices mágicas
  143. Matriz de Markov
  144. Inversa generalizada
  145. Matrices cuadradas invertibles con coeficientes enteros
  146. Determinantes
  147. Determinantes sencillos
  148. Determinantes por triangularización
  149. Determinantes por inducción
  150. Determinante de Vandermonde
  151. Regla de Cramer
  152. Ceros por encima o debajo de la diagonal secundaria
  153. Determinante y sucesión de Fibonacci
  154. Determinante con números combinatorios
  155. Producto de enteros que son suma de cuatro cuadrados de enteros
  156. Determinante e inversa de orden n
  157. Determinante de $I + v w$
  158. Determinante por inducción y sistema lineal
  159. Derivada de un determinante
  160. Igualdad de matrices a partir de una de determinantes
  161. Espacios vectoriales
  162. Primeras propiedades de los espacios vectoriales
  163. Espacio vectorial $\mathbb{K}^n$
  164. Espacio vectorial de las matrices sobre un cuerpo
  165. Espacio vectorial $\mathbb{K}[x]$
  166. Espacio vectorial de las funciones reales
  167. Subcuerpo como espacio vectorial
  168. Subespacios vectoriales, caracterización
  169. Suma e intersección de subespacios
  170. Suma directa de subespacios
  171. Combinación lineal de vectores
  172. Dependencia e independencia lineal de vectores
  173. Base de un espacio vectorial
  174. Subespacio de las matrices diagonales, dimensión y base
  175. Subespacio de las matrices escalares, dimensión y base
  176. Subespacio de las matrices simétricas, dimensión y base
  177. Subespacio de las matrices antisimétricas, dimensión y base
  178. Subespacios de matrices triangulares, dimensión y base
  179. Rango de una matriz. Dependencia lineal en $\mathbb {K}^n$
  180. Acotación del rango del producto de dos matrices
  181. Teorema de la base incompleta
  182. Existencia de base en todo espacio vectorial
  183. Dimensión de un espacio vectorial
  184. Teorema de la torre
  185. Propiedades de la dimensión
  186. Teorema de la dimensión para espacios vectoriales
  187. Teorema de Grassmann
  188. Coordenadas
  189. Cambio de base
  190. Ecuaciones de los subespacios
  191. Bases de la suma e intersección de subespacios
  192. Espacio vectorial cociente
  193. Cambio de base en orbitales atómicos
  194. Intersección de subespacios de $(\mathbb{Z}_7)^4$
  195. Espacio vectorial de las funciones definidas en un conjunto
  196. Realificación de un espacio vectorial complejo
  197. Subespacios transversales
  198. Wronskiano
  199. Un espacio vectorial no usual
  200. Cardinal de un espacio vectorial finito
  201. Aplicaciones lineales
  202. Concepto de aplicación lineal
  203. Núcleo e imagen de una aplicación lineal
  204. Teorema de las dimensiones para aplicaciones lineales
  205. Matriz de una aplicación lineal
  206. Expresión matricial de una aplicación lineal
  207. Núcleo e imagen del operador derivación
  208. Clasificación de aplicaciones lineales
  209. El espacio vectorial de las aplicaciones lineales
  210. Composición de aplicaciones lineales
  211. Descomposición canónica de una aplicación lineal, teorema de isomorfía
  212. Cambio de base en aplicaciones lineales, matrices equivalentes
  213. Cambio de base en endomorfismos, matrices semejantes
  214. Anillo de los endomorfismos y grupo lineal
  215. Espacio dual, base dual
  216. Cambio de base en el espacio dual
  217. Subespacio conjugado o anulador
  218. Aplicación transpuesta
  219. Matrices de aplicaciones lineales
  220. Un endomorfismo nilpotente
  221. Hiperplanos
  222. Endomorfismo y suma $S_4=1^4+…+n^4.$
  223. Sucesiones exactas
  224. Endomorfismo en un subespacio de C(R)
  225. Un operador traspuesto en el espacio dual
  226. Interpolación en el espacio dual
  227. Clasificación de una familia de endomorfismos
  228. Dos aplicaciones lineales
  229. Endomorfismo en $\mathbb{C}$ sobre $\mathbb{R}$
  230. Espacio vectorial de las matrices circulantes
  231. Valores y vectores propios
  232. Concepto de valor y vector propio
  233. Primeras propiedades de los valores y vectores propios
  234. Cálculo de valores y vectores propios. Polinomio característico
  235. Endomorfismos diagonalizables
  236. Potencia enésima de una matriz por diagonalización
  237. Teorema de Cayley-Hamilton
  238. Diagonalización según parámetros
  239. Suma y producto de valores propios
  240. Valores propios del endomorfismo inverso
  241. Diagonalización de un endomorfismo en $M_2(\mathbb{R})$
  242. Diagonalización de un endomorfismo en $\mathbb{R}_2[x]$
  243. Valores propios de una matriz nilpotente
  244. Logaritmo de una matriz
  245. Un determinante por recurrencia
  246. Diagonalización en un espacio complejo
  247. Límite de una sucesión matricial
  248. Modelo de poblaciones
  249. Endomorfismo con modelo matemático
  250. Endomorfismo idempotente
  251. Límite de sucesión de puntos diagonalizando en $\mathbb{C}.$
  252. Diagonalización de involuciones
  253. Valor propio y asíntota horizontal
  254. Coseno de una matriz
  255. Matrices componentes
  256. Secante de una matriz (vídeo)
  257. Espacio vectorial como suma directa de dos núcleos
  258. Valores propios y determinante de una matriz circulante
  259. Matrices idempotentes de orden 2 sobre un cuerpo
  260. Formas canónicas de Jordan
  261. Subespacios invariantes
  262. Bloque de Jordan
  263. Polinomio mínimo
  264. Forma canónica de Jordan
  265. Cálculo de una base de Jordan
  266. Potencia enésima por forma de Jordan
  267. Formas de Jordan de $AB$ y $BA$
  268. Forma canónica del operador derivación
  269. Número e y exponencial de una matriz
  270. Formas de Jordan de rango 1
  271. Espacio de funciones y forma de Jordan
  272. Matrices con cuadrado nulo
  273. Diagonalización de $A\in\mathbb{R}^{2\times 2}$ con funciones hiperbólicas
  274. $A$ y $B$ matrices reales y semejantes como complejas, lo son como reales
  275. Forma de Jordan en $\mathbb{Z}_7$
  276. Formas bilineales y cuadráticas
  277. Concepto de forma bilineal
  278. Espacio vectorial de las formas bilineales
  279. Matriz de una forma bilineal
  280. Formas bilineales simétricas y antisimétricas
  281. Suma directa de las formas bilineales simétricas y antisimétricas
  282. Formas bilineales: cambio de base
  283. Diagonalización de formas bilineales simétricas
  284. Concepto de forma cuadrática
  285. Forma polar de una forma cuadrática
  286. Diagonalización de formas cuadráticas por transformaciones elementales
  287. Diagonalización de formas cuadráticas: método de Gauss
  288. Ley de inercia de Sylvester
  289. Clasificación de formas cuadráticas
  290. Forma cuadrática mediante una integral
  291. Mínimo de una función cuadrática
  292. Funciones convexas y formas cuadráticas
  293. Núcleo de una forma cuadrática
  294. Forma cuadrática multiplicativa
  295. Semejanza, congruencia y equivalencia de dos matrices
  296. Forma bilineal y sistema diferencial
  297. Cociente de Rayleigh
  298. Principio de Rayleigh (vìdeo)
  299. Forma bilineal a partir de una suma directa
  300. Concepto de producto tensorial
  301. Concepto de aplicación multilineal
  302. Espacio vectorial de las aplicaciones multilineales
  303. Problema de la aplicación universal
  304. Espacio vectorial producto
  305. Suma directa externa de espacios
  306. Producto tensorial
  307. Producto escalar
  308. Producto escalar real
  309. Espacio euclídeo, norma
  310. Desigualdad de Schwartz, ángulos
  311. Ortogonalidad en el espacio euclídeo
  312. Bases ortonormales, método de Schmidt
  313. Subespacio ortogonal
  314. Proyección ortogonal
  315. Mínima distancia de un vector a un subespacio
  316. Matrices ortogonales
  317. Operador traspuesto
  318. Operador ortogonal
  319. Operador simétrico, teorema espectral
  320. Giros alrededor de una recta
  321. Matriz adjunta
  322. Matrices hermíticas
  323. Concepto de forma sesquilineal
  324. Expresión matricial de una forma sesquilineal
  325. Concepto de forma hermítica o hermitiana
  326. Concepto de producto escalar complejo, espacio unitario
  327. Expresión matricial del producto escalar complejo
  328. Matrices unitarias
  329. Descomposición en valores singulares
  330. Matrices normales
  331. Matrices de proyección y simetría
  332. Lema de Schur
  333. Simetría de Householder
  334. Gram-Schmidt con integral impropia
  335. Proyección ortogonal en $\mathbb{R}_2[x]$
  336. Signatura de una forma cuadrática en un espacio euclídeo
  337. Un endomorfismo antisimétrico
  338. Un endomorfismo simétrico
  339. Automorfismo en un espacio euclídeo
  340. Endomorfismo, forma cuadrática y cono
  341. Subespacio ortogonal al de las matrices diagonales
  342. Diagonalización simultánea. Sistema diferencial de segundo orden
  343. $Q(A) = (\text{traza } A)^2 – 2 \det A$
  344. Una matriz normal
  345. Inversa de $A\in\mathbb{R}^{3\times 3}$ e interpretación geométrica
  346. Mínimo de $L(f)=\int_a^bf(x)\;dx\cdot\int_a^b \frac{dx}{f(x)}$ mediante la desigualdad de Schwarz
  347. Polinomios de Legendre y operador simétrico
  348. Un operador autoadjunto y unitario
  349. Operador de Sturm-Liouville
  350. Isometrías en $\mathbb{R}^n$
  351. Álgebra de los números complejos
  352. Cuerpo de los números complejos
  353. Operaciones con números complejos
  354. Raíz cuadrada de un número complejo
  355. Forma trigonométrica de los números complejos
  356. Números complejos: problemas diversos (1)
  357. Números complejos: problemas diversos (2)
  358. Afijos formando un triángulo rectángulo isósceles
  359. Isometrías en el plano
  360. Polinomios
  361. División euclídea de polinomios
  362. Factorización de polinomios
  363. Fórmulas de Cardano-Vieta
  364. Raíces en progresión
  365. Raíces múltiples de polinomios
  366. Raíz cuádruple según parámetros
  367. Polinomio de interpolación de Lagrange
  368. Ecuación de tercer grado
  369. Ecuación de cuarto grado
  370. Polinomios en una variable: problemas diversos
  371. Descomposición de un polinomio en suma de productos de raíces
  372. Seno de $72^{\text{o}}$
  373. Familia de polinomios $p(x^2)=p(x)p(x+1)$
  374. Cotas de las raíces de un polinomio
  375. Raíces de $f(x)=x^3+\beta x^2-\overline{\beta}x-1$
  376. Polinomio de $\mathbb{Z}[x]$ con raíz $\alpha=2+\sqrt[3]{3}$
  377. Lema de Gauss
  378. Criterio de Eisenstein
  379. Polinomio de Motzkin
  380. Factorización en $\mathbb{C} [x]$ de $p(x)=(x+1)^n+(x-1)^n$
  381. Condiciones suficientes para que un polinomio sea irreducible en $\mathbb{K}[x]$
  382. Cónicas
  383. Clasificación de cónicas
  384. Rectas que componen las cónicas degeneradas
  385. Ecuaciones reducidas de las cónicas
  386. Centro y ejes de las cónicas
  387. Giros y traslaciones en las cónicas
  388. Familia uniparamétrica de cónicas
  389. Circunferencia, cónica y forma cuadrática
  390. Ejes de una cónica por diagonalización simultanea
  391. Superficies
  392. Superficies regladas
  393. Superficies de revolución
  394. Superficie de revolución y cónica
  395. Superficies de traslación
  396. Una cuádrica como lugar geométrico
  397. Cuádrica, giro y traslación
  398. Una curva plana
  399. Superficies: problemas diversos
  400. Generatrices rectilíneas de un hiperboloide de una hoja
  401. Programación lineal
  402. Método del simplex
  403. Máximo de una integral por el método del simplex.
  404. Método del simplex. Aplicación
  405. Método del simplex: aprovechamiento de un monte