Álgebra

Proporcionamos una colección de problemas resueltos de Álgebra. Se irán añadiendo otros sucesivamente.

    Conjuntos
  1. Concepto de conjunto
  2. Inclusión de conjuntos. Conjunto vacío
  3. Unión e intersección de conjuntos
  4. Propiedades de la unión e intersección
  5. Cardinal de la unión de tres conjuntos
  6. Partes de un conjunto, complementario y diferencia
  7. Relaciones de inclusión y pertenencia
  8. Propiedades del complementario
  9. Simplificaciones en las partes de un conjunto
  10. Diagramas de Venn
  11. Producto cartesiano
  12. Unión e intersección generalizadas
  13. Función característica
  14. Diferencia simétrica: propiedad asociativa
  15. Partes de uniones e intersecciones
  16. Cardinales de las sigma-álgebras contables
  17. Límite de una sucesión de conjuntos
  18. Cardinal de la unión de $n$ conjuntos
  19. Relaciones
  20. Concepto de relación binaria
  21. Relación de equivalencia, conjunto cociente
  22. Partición de un conjunto
  23. Concepto de relación de orden
  24. Máximo, mínimo, cotas
  25. Supremo, ínfimo, maximales y minimales
  26. Orden total, buen orden
  27. Diagramas de Hasse
  28. Relación de equivalencia en $\mathbb{R}[x]$
  29. Tres relaciones en $\mathbb{N}$
  30. Finura de las relaciones de orden
  31. Orden lexicográfico
  32. Funciones
  33. Concepto de función
  34. Composición de funciones
  35. Aplicaciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas
  36. Aplicación identidad, aplicación inversa
  37. Imágenes directas e inversas de conjuntos
  38. Biyección entre $(-1,1)$ y $\mathbb{R}$
  39. Aplicación involutiva
  40. Factorización canónica de la función seno
  41. Estudio de la biyectividad de $f(X)=(A\cap X,B\cap X)$
  42. Cardinales infinitos no regulares
  43. Grupos
  44. Concepto de grupo
  45. Primeras propiedades de los grupos
  46. Subgrupos
  47. Tabla de Cayley
  48. Generadores de un grupo, grupo cíclico
  49. Subgrupos normales
  50. Subgrupo normal y centro
  51. Grupo cociente
  52. Grupo de clases residuales
  53. Homomorfismos de grupos
  54. Núcleo e imagen de un homomorfismo de grupos
  55. Clasificación de homomorfismos de grupos
  56. Descomposición canónica de un homomorfismo de grupos
  57. Grupo de las partes con la diferencia simétrica
  58. Tres igualdades en un grupo.
  59. Grupo no cíclico
  60. Grupo de funciones matriciales
  61. Conjunto, grupo y aplicación
  62. Relación y operaciones en el plano
  63. Grupo de aplicaciones afines.
  64. Centro de un grupo de matrices
  65. Grupo construido por biyección
  66. Conmutador y subgrupo derivado
  67. Todo grupo de orden 4 es abeliano
  68. Grupo de Klein y sus automorfismos
  69. Los grupos $\mathbb{R}^\times$ y $\mathbb{C}^\times$ no son isomorfos
  70. Todo grupo de orden primo es cíclico
  71. Grupos de orden 4
  72. Grupos de orden 6
  73. Anillos y cuerpos
  74. Concepto de anillo
  75. Anillo de sucesiones
  76. Producto directo de anillos
  77. Anillos: notaciones y propiedades
  78. Grupo multiplicativo de las unidades
  79. Anillo de los enteros de Gauss
  80. Anillo de clases residuales
  81. Anillos de integridad
  82. Subanillos
  83. Homomorfismos de anillos
  84. Ideales de un anillo
  85. Ideal de las sucesiones nulas
  86. Ideal bilátero f (I).
  87. Anillo cociente
  88. Descomposición canónica de un homomorfismo de anillos
  89. Concepto de cuerpo
  90. Cuerpos $\mathbb{Z}_p$
  91. Característica de un cuerpo
  92. Homomorfismos entre cuerpos
  93. Anillo según parámetro
  94. Anillo y grupo de matrices
  95. Máximo común divisor en los enteros de Gauss
  96. Dominio de integridad no euclídeo
  97. Una unidad en el anillo cociente $\mathbb{Q}[X] / I$
  98. Binomio de Newton en un anillo
  99. Anillo de las funciones reales
  100. Anillo idempotente
  101. Intersección de subcuerpos
  102. Cuerpo infinito con característica finita
  103. Cuerpo conmutativo con función sobre $\mathbb{R}^+$
  104. Cuaternios de Hamilton
  105. Cuerpo con 25 elementos (vídeo)
  106. Los grupos aditivo y multiplicativo de un cuerpo no son isomorfos
  107. Ideal maximal en el anillo de las funciones de clase infinito
  108. Semianillo tropical
  109. Unidades en el anillo de las series formales $A[[X]]$
  110. Caracterización de anillos noetherianos
  111. El anillo de las funciones continuas no es noetheriano
  112. Ideal generado por un subconjunto de un anillo
  113. $R$ dominio de integridad y no cuerpo, implica $R[x]$ no es dominio de ideales principales
  114. Cardinal de un cuerpo finito
  115. Cuerpo $\mathbb{Q}(\sqrt{5},i)$
  116. Los complejos no pueden ser un cuerpo ordenado
  117. $\langle 2, x \rangle$ no es ideal principal en $\mathbb{Z}[x]$
  118. Caracterizaciones de cuerpos
  119. Inverso de un elemento en $\mathbb{Q}/\langle x^2+x+1 \rangle $
  120. Cuerpo primo
  121. Un cuerpo de matrices isomorfo al de los complejos
  122. Anillos $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$
  123. Sistemas lineales
  124. Sistemas lineales escalonados
  125. Reducción gaussiana
  126. Sistemas lineales según parámetros
  127. Sistemas lineales, método de Gauss: problemas diversos
  128. Matrices
  129. Concepto de matriz, suma de matrices
  130. Grupo aditivo de las matrices sobre un cuerpo
  131. Producto de un escalar por una matriz
  132. Multiplicación de matrices
  133. Inversa de una matriz
  134. Inversa de orden n por el método de Gauss
  135. Inversa de orden n por sistema de columnas
  136. Ecuaciones y sistemas matriciales
  137. Transposición de matrices
  138. Descomposición $A=uv^t$
  139. Matriz nilpotente e inversa
  140. Potencia enésima de matrices por binomio de Newton
  141. Traza de una matriz, propiedades
  142. Matrices mágicas
  143. Matriz de Markov
  144. Inversa generalizada
  145. Matrices cuadradas invertibles con coeficientes enteros
  146. Determinantes
  147. Determinantes sencillos
  148. Determinantes por triangularización
  149. Determinantes por inducción
  150. Determinante de Vandermonde
  151. Regla de Cramer
  152. Ceros por encima o debajo de la diagonal secundaria
  153. Determinante y sucesión de Fibonacci
  154. Determinante con números combinatorios
  155. Producto de enteros que son suma de cuatro cuadrados de enteros
  156. Determinante e inversa de orden n
  157. Determinante de $I + v w$
  158. Determinante por inducción y sistema lineal
  159. Derivada de un determinante
  160. Igualdad de matrices a partir de una de determinantes
  161. Espacios vectoriales
  162. Primeras propiedades de los espacios vectoriales
  163. Espacio vectorial $\mathbb{K}^n$
  164. Espacio vectorial de las matrices sobre un cuerpo
  165. Espacio vectorial $\mathbb{K}[x]$
  166. Espacio vectorial de las funciones reales
  167. Subcuerpo como espacio vectorial
  168. Subespacios vectoriales, caracterización
  169. Suma e intersección de subespacios
  170. Suma directa de subespacios
  171. Combinación lineal de vectores
  172. Dependencia e independencia lineal de vectores
  173. Base de un espacio vectorial
  174. Subespacio de las matrices diagonales, dimensión y base
  175. Subespacio de las matrices escalares, dimensión y base
  176. Subespacio de las matrices simétricas, dimensión y base
  177. Subespacio de las matrices antisimétricas, dimensión y base
  178. Subespacios de matrices triangulares, dimensión y base
  179. Rango de una matriz. Dependencia lineal en $\mathbb {K}^n$
  180. Acotación del rango del producto de dos matrices
  181. Teorema de la base incompleta
  182. Existencia de base en todo espacio vectorial
  183. Dimensión de un espacio vectorial
  184. Teorema de la torre
  185. Propiedades de la dimensión
  186. Teorema de la dimensión para espacios vectoriales
  187. Teorema de Grassmann
  188. Coordenadas
  189. Cambio de base
  190. Ecuaciones de los subespacios
  191. Bases de la suma e intersección de subespacios
  192. Espacio vectorial cociente
  193. Cambio de base en orbitales atómicos
  194. Intersección de subespacios de $(\mathbb{Z}_7)^4$
  195. Espacio vectorial de las funciones definidas en un conjunto
  196. Realificación de un espacio vectorial complejo
  197. Subespacios transversales
  198. Wronskiano
  199. Un espacio vectorial no usual
  200. Aplicaciones lineales
  201. Concepto de aplicación lineal
  202. Núcleo e imagen de una aplicación lineal
  203. Teorema de las dimensiones para aplicaciones lineales
  204. Matriz de una aplicación lineal
  205. Expresión matricial de una aplicación lineal
  206. Núcleo e imagen del operador derivación
  207. Clasificación de aplicaciones lineales
  208. El espacio vectorial de las aplicaciones lineales
  209. Composición de aplicaciones lineales
  210. Descomposición canónica de una aplicación lineal, teorema de isomorfía
  211. Cambio de base en aplicaciones lineales, matrices equivalentes
  212. Cambio de base en endomorfismos, matrices semejantes
  213. Anillo de los endomorfismos y grupo lineal
  214. Espacio dual, base dual
  215. Cambio de base en el espacio dual
  216. Subespacio conjugado o anulador
  217. Aplicación transpuesta
  218. Matrices de aplicaciones lineales
  219. Un endomorfismo nilpotente
  220. Hiperplanos
  221. Endomorfismo y suma $S_4=1^4+…+n^4.$
  222. Sucesiones exactas
  223. Endomorfismo en un subespacio de C(R)
  224. Un operador traspuesto en el espacio dual
  225. Interpolación en el espacio dual
  226. Clasificación de una familia de endomorfismos
  227. Dos aplicaciones lineales
  228. Endomorfismo en $\mathbb{C}$ sobre $\mathbb{R}$
  229. Espacio vectorial de las matrices circulantes
  230. Valores y vectores propios
  231. Concepto de valor y vector propio
  232. Primeras propiedades de los valores y vectores propios
  233. Cálculo de valores y vectores propios. Polinomio característico
  234. Endomorfismos diagonalizables
  235. Potencia enésima de una matriz por diagonalización
  236. Teorema de Cayley-Hamilton
  237. Diagonalización según parámetros
  238. Suma y producto de valores propios
  239. Valores propios del endomorfismo inverso
  240. Diagonalización de un endomorfismo en $M_2(\mathbb{R})$
  241. Diagonalización de un endomorfismo en $\mathbb{R}_2[x]$
  242. Valores propios de una matriz nilpotente
  243. Logaritmo de una matriz
  244. Un determinante por recurrencia
  245. Diagonalización en un espacio complejo
  246. Límite de una sucesión matricial
  247. Modelo de poblaciones
  248. Endomorfismo con modelo matemático
  249. Endomorfismo idempotente
  250. Límite de sucesión de puntos diagonalizando en $\mathbb{C}.$
  251. Diagonalización de involuciones
  252. Valor propio y asíntota horizontal
  253. Coseno de una matriz
  254. Matrices componentes
  255. Secante de una matriz (vídeo)
  256. Espacio vectorial como suma directa de dos núcleos
  257. Valores propios y determinante de una matriz circulante
  258. Matrices idempotentes de orden 2 sobre un cuerpo
  259. Formas canónicas de Jordan
  260. Subespacios invariantes
  261. Bloque de Jordan
  262. Polinomio mínimo
  263. Forma canónica de Jordan
  264. Cálculo de una base de Jordan
  265. Potencia enésima por forma de Jordan
  266. Formas de Jordan de $AB$ y $BA$
  267. Forma canónica del operador derivación
  268. Número e y exponencial de una matriz
  269. Formas de Jordan de rango 1
  270. Espacio de funciones y forma de Jordan
  271. Matrices con cuadrado nulo
  272. Diagonalización de $A\in\mathbb{R}^{2\times 2}$ con funciones hiperbólicas
  273. $A$ y $B$ matrices reales y semejantes como complejas, lo son como reales
  274. Formas bilineales y cuadráticas
  275. Concepto de forma bilineal
  276. Espacio vectorial de las formas bilineales
  277. Matriz de una forma bilineal
  278. Formas bilineales simétricas y antisimétricas
  279. Suma directa de las formas bilineales simétricas y antisimétricas
  280. Formas bilineales: cambio de base
  281. Diagonalización de formas bilineales simétricas
  282. Concepto de forma cuadrática
  283. Forma polar de una forma cuadrática
  284. Diagonalización de formas cuadráticas por transformaciones elementales
  285. Diagonalización de formas cuadráticas: método de Gauss
  286. Ley de inercia de Sylvester
  287. Clasificación de formas cuadráticas
  288. Forma cuadrática mediante una integral
  289. Mínimo de una función cuadrática
  290. Funciones convexas y formas cuadráticas
  291. Núcleo de una forma cuadrática
  292. Forma cuadrática multiplicativa
  293. Semejanza, congruencia y equivalencia de dos matrices
  294. Forma bilineal y sistema diferencial
  295. Cociente de Rayleigh
  296. Principio de Rayleigh (vìdeo)
  297. Forma bilineal a partir de una suma directa
  298. Concepto de producto tensorial
  299. Concepto de aplicación multilineal
  300. Espacio vectorial de las aplicaciones multilineales
  301. Problema de la aplicación universal
  302. Espacio vectorial producto
  303. Suma directa externa de espacios
  304. Producto tensorial
  305. Producto escalar
  306. Producto escalar real
  307. Espacio euclídeo, norma
  308. Desigualdad de Schwartz, ángulos
  309. Ortogonalidad en el espacio euclídeo
  310. Bases ortonormales, método de Schmidt
  311. Subespacio ortogonal
  312. Proyección ortogonal
  313. Mínima distancia de un vector a un subespacio
  314. Matrices ortogonales
  315. Operador traspuesto
  316. Operador ortogonal
  317. Operador simétrico, teorema espectral
  318. Giros alrededor de una recta
  319. Matriz adjunta
  320. Matrices hermíticas
  321. Concepto de forma sesquilineal
  322. Expresión matricial de una forma sesquilineal
  323. Concepto de forma hermítica o hermitiana
  324. Concepto de producto escalar complejo, espacio unitario
  325. Expresión matricial del producto escalar complejo
  326. Matrices unitarias
  327. Descomposición en valores singulares
  328. Matrices normales
  329. Matrices de proyección y simetría
  330. Lema de Schur
  331. Simetría de Householder
  332. Gram-Schmidt con integral impropia
  333. Proyección ortogonal en $\mathbb{R}_2[x]$
  334. Signatura de una forma cuadrática en un espacio euclídeo
  335. Un endomorfismo antisimétrico
  336. Un endomorfismo simétrico
  337. Automorfismo en un espacio euclídeo
  338. Endomorfismo, forma cuadrática y cono
  339. Subespacio ortogonal al de las matrices diagonales
  340. Diagonalización simultánea. Sistema diferencial de segundo orden
  341. $Q(A) = (\text{traza } A)^2 – 2 \det A$
  342. Una matriz normal
  343. Inversa de $A\in\mathbb{R}^{3\times 3}$ e interpretación geométrica
  344. Mínimo de $L(f)=\int_a^bf(x)\;dx\cdot\int_a^b \frac{dx}{f(x)}$ mediante la desigualdad de Schwarz
  345. Polinomios de Legendre y operador simétrico
  346. Un operador autoadjunto y unitario
  347. Operador de Sturm-Liouville
  348. Isometrías en $\mathbb{R}^n$
  349. Álgebra de los números complejos
  350. Cuerpo de los números complejos
  351. Operaciones con números complejos
  352. Raíz cuadrada de un número complejo
  353. Forma trigonométrica de los números complejos
  354. Números complejos: problemas diversos (1)
  355. Números complejos: problemas diversos (2)
  356. Afijos formando un triángulo rectángulo isósceles
  357. Isometrías en el plano
  358. Polinomios
  359. División euclídea de polinomios
  360. Factorización de polinomios
  361. Fórmulas de Cardano-Vieta
  362. Raíces en progresión
  363. Raíces múltiples de polinomios
  364. Raíz cuádruple según parámetros
  365. Polinomio de interpolación de Lagrange
  366. Ecuación de tercer grado
  367. Ecuación de cuarto grado
  368. Polinomios en una variable: problemas diversos
  369. Descomposición de un polinomio en suma de productos de raíces
  370. Seno de $72^{\text{o}}$
  371. Familia de polinomios $p(x^2)=p(x)p(x+1)$
  372. Cotas de las raíces de un polinomio
  373. Raíces de $f(x)=x^3+\beta x^2-\overline{\beta}x-1$
  374. Polinomio de $\mathbb{Z}[x]$ con raíz $\alpha=2+\sqrt[3]{3}$
  375. Lema de Gauss
  376. Criterio de Eisenstein
  377. Polinomio de Motzkin
  378. Factorización en $\mathbb{C} [x]$ de $p(x)=(x+1)^n+(x-1)^n$
  379. Condiciones suficientes para que un polinomio sea irreducible en $\mathbb{K}[x]$
  380. Cónicas
  381. Clasificación de cónicas
  382. Rectas que componen las cónicas degeneradas
  383. Ecuaciones reducidas de las cónicas
  384. Centro y ejes de las cónicas
  385. Giros y traslaciones en las cónicas
  386. Familia uniparamétrica de cónicas
  387. Circunferencia, cónica y forma cuadrática
  388. Ejes de una cónica por diagonalización simultanea
  389. Superficies
  390. Superficies regladas
  391. Superficies de revolución
  392. Superficie de revolución y cónica
  393. Superficies de traslación
  394. Una cuádrica como lugar geométrico
  395. Cuádrica, giro y traslación
  396. Una curva plana
  397. Superficies: problemas diversos
  398. Generatrices rectilíneas de un hiperboloide de una hoja
  399. Programación lineal
  400. Método del simplex
  401. Máximo de una integral por el método del simplex.
  402. Método del simplex. Aplicación
  403. Método del simplex: aprovechamiento de un monte