Álgebra

Proporcionamos una colección de problemas resueltos de Álgebra. Se irán añadiendo otros sucesivamente.

    Conjuntos
  1. Concepto de conjunto
  2. Inclusión de conjuntos. Conjunto vacío
  3. Unión e intersección de conjuntos
  4. Propiedades de la unión e intersección
  5. Cardinal de la unión de tres conjuntos
  6. Partes de un conjunto, complementario y diferencia
  7. Relaciones de inclusión y pertenencia
  8. Propiedades del complementario
  9. Simplificaciones en las partes de un conjunto
  10. Diagramas de Venn
  11. Producto cartesiano
  12. Unión e intersección generalizadas
  13. Función característica
  14. Diferencia simétrica: propiedad asociativa
  15. Partes de uniones e intersecciones
  16. Cardinales de las sigma-álgebras contables
  17. Límite de una sucesión de conjuntos
  18. Cardinal de la unión de $n$ conjuntos
  19. Relaciones
  20. Concepto de relación binaria
  21. Relación de equivalencia, conjunto cociente
  22. Partición de un conjunto
  23. Concepto de relación de orden
  24. Máximo, mínimo, cotas
  25. Supremo, ínfimo, maximales y minimales
  26. Orden total, buen orden
  27. Diagramas de Hasse
  28. Relación de equivalencia en $\mathbb{R}[x]$
  29. Tres relaciones en $\mathbb{N}$
  30. Finura de las relaciones de orden
  31. Funciones
  32. Concepto de función
  33. Composición de funciones
  34. Aplicaciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas
  35. Aplicación identidad, aplicación inversa
  36. Imágenes directas e inversas de conjuntos
  37. Biyección entre $(-1,1)$ y $\mathbb{R}$
  38. Aplicación involutiva
  39. Factorización canónica de la función seno
  40. Estudio de la biyectividad de $f(X)=(A\cap X,B\cap X)$
  41. Cardinales infinitos no regulares
  42. Grupos
  43. Concepto de grupo
  44. Primeras propiedades de los grupos
  45. Subgrupos
  46. Tabla de Cayley
  47. Generadores de un grupo, grupo cíclico
  48. Subgrupos normales
  49. Subgrupo normal y centro
  50. Grupo cociente
  51. Grupo de clases residuales
  52. Homomorfismos de grupos
  53. Núcleo e imagen de un homomorfismo de grupos
  54. Clasificación de homomorfismos de grupos
  55. Descomposición canónica de un homomorfismo de grupos
  56. Grupo de las partes con la diferencia simétrica
  57. Tres igualdades en un grupo.
  58. Grupo no cíclico
  59. Grupo de funciones matriciales
  60. Conjunto, grupo y aplicación
  61. Relación y operaciones en el plano
  62. Grupo de aplicaciones afines.
  63. Centro de un grupo de matrices
  64. Grupo construido por biyección
  65. Conmutador y subgrupo derivado
  66. Todo grupo de orden 4 es abeliano
  67. Grupo de Klein y sus automorfismos
  68. Anillos y cuerpos
  69. Concepto de anillo
  70. Anillo de sucesiones
  71. Producto directo de anillos
  72. Anillos: notaciones y propiedades
  73. Grupo multiplicativo de las unidades
  74. Anillo de los enteros de Gauss
  75. Anillo de clases residuales
  76. Anillos de integridad
  77. Subanillos
  78. Homomorfismos de anillos
  79. Ideales de un anillo
  80. Ideal de las sucesiones nulas
  81. Ideal bilátero f (I).
  82. Anillo cociente
  83. Descomposición canónica de un homomorfismo de anillos
  84. Concepto de cuerpo
  85. Cuerpos $\mathbb{Z}_p$
  86. Característica de un cuerpo
  87. Homomorfismos entre cuerpos
  88. Anillo según parámetro
  89. Anillo y grupo de matrices
  90. Máximo común divisor en los enteros de Gauss
  91. Dominio de integridad no euclídeo
  92. Una unidad en el anillo cociente $\mathbb{Q}[X] / I$
  93. Binomio de Newton en un anillo
  94. Anillo de las funciones reales
  95. Anillo idempotente
  96. Intersección de subcuerpos
  97. Cuerpo infinito con característica finita
  98. Cuerpo conmutativo con función sobre $\mathbb{R}^+$
  99. Cuaternios de Hamilton
  100. Cuerpo con 25 elementos (vídeo)
  101. Los grupos aditivo y multiplicativo de un cuerpo no son isomorfos
  102. Ideal maximal en el anillo de las funciones de clase infinito
  103. Semianillo tropical
  104. Unidades en el anillo de las series formales $A[[X]]$
  105. Caracterización de anillos noetherianos
  106. El anillo de las funciones continuas no es noetheriano
  107. Ideal generado por un subconjunto de un anillo
  108. $R$ dominio de integridad y no cuerpo, implica $R[x]$ no es dominio de ideales principales
  109. Cardinal de un cuerpo finito
  110. Cuerpo $\mathbb{Q}(\sqrt{5},i)$
  111. Los complejos no pueden ser un cuerpo ordenado
  112. $\langle 2, x \rangle$ no es ideal principal en $\mathbb{Z}[x]$
  113. Caracterizaciones de cuerpos
  114. Inverso de un elemento en $\mathbb{Q}/\langle x^2+x+1 \rangle $
  115. Cuerpo primo
  116. Sistemas lineales
  117. Sistemas lineales escalonados
  118. Reducción gaussiana
  119. Sistemas lineales según parámetros
  120. Sistemas lineales, método de Gauss: problemas diversos
  121. Matrices
  122. Concepto de matriz, suma de matrices
  123. Grupo aditivo de las matrices sobre un cuerpo
  124. Producto de un escalar por una matriz
  125. Multiplicación de matrices
  126. Inversa de una matriz
  127. Inversa de orden n por el método de Gauss
  128. Inversa de orden n por sistema de columnas
  129. Ecuaciones y sistemas matriciales
  130. Transposición de matrices
  131. Descomposición $A=uv^t$
  132. Matriz nilpotente e inversa
  133. Potencia enésima de matrices por binomio de Newton
  134. Traza de una matriz, propiedades
  135. Matrices mágicas
  136. Matriz de Markov
  137. Inversa generalizada
  138. Matrices cuadradas invertibles con coeficientes enteros
  139. Determinantes
  140. Determinantes sencillos
  141. Determinantes por triangularización
  142. Determinantes por inducción
  143. Determinante de Vandermonde
  144. Regla de Cramer
  145. Ceros por encima o debajo de la diagonal secundaria
  146. Determinante y sucesión de Fibonacci
  147. Determinante con números combinatorios
  148. Producto de enteros que son suma de cuatro cuadrados de enteros
  149. Determinante e inversa de orden n
  150. Determinante de $I + v w$
  151. Determinante por inducción y sistema lineal
  152. Derivada de un determinante
  153. Espacios vectoriales
  154. Primeras propiedades de los espacios vectoriales
  155. Espacio vectorial $\mathbb{K}^n$
  156. Espacio vectorial de las matrices sobre un cuerpo
  157. Espacio vectorial $\mathbb{K}[x]$
  158. Espacio vectorial de las funciones reales
  159. Subcuerpo como espacio vectorial
  160. Subespacios vectoriales, caracterización
  161. Suma e intersección de subespacios
  162. Suma directa de subespacios
  163. Combinación lineal de vectores
  164. Dependencia e independencia lineal de vectores
  165. Base de un espacio vectorial
  166. Subespacio de las matrices diagonales, dimensión y base
  167. Subespacio de las matrices escalares, dimensión y base
  168. Subespacio de las matrices simétricas, dimensión y base
  169. Subespacio de las matrices antisimétricas, dimensión y base
  170. Subespacios de matrices triangulares, dimensión y base
  171. Rango de una matriz. Dependencia lineal en $\mathbb {K}^n$
  172. Acotación del rango del producto de dos matrices
  173. Teorema de la base incompleta
  174. Existencia de base en todo espacio vectorial
  175. Dimensión de un espacio vectorial
  176. Teorema de la torre
  177. Propiedades de la dimensión
  178. Teorema de la dimensión para espacios vectoriales
  179. Teorema de Grassmann
  180. Coordenadas
  181. Cambio de base
  182. Ecuaciones de los subespacios
  183. Bases de la suma e intersección de subespacios
  184. Espacio vectorial cociente
  185. Cambio de base en orbitales atómicos
  186. Intersección de subespacios de $(\mathbb{Z}_7)^4$
  187. Espacio vectorial de las funciones definidas en un conjunto
  188. Realificación de un espacio vectorial complejo
  189. Subespacios transversales
  190. Wronskiano
  191. Un espacio vectorial no usual
  192. Aplicaciones lineales
  193. Concepto de aplicación lineal
  194. Núcleo e imagen de una aplicación lineal
  195. Teorema de las dimensiones para aplicaciones lineales
  196. Matriz de una aplicación lineal
  197. Expresión matricial de una aplicación lineal
  198. Núcleo e imagen del operador derivación
  199. Clasificación de aplicaciones lineales
  200. El espacio vectorial de las aplicaciones lineales
  201. Composición de aplicaciones lineales
  202. Descomposición canónica de una aplicación lineal, teorema de isomorfía
  203. Cambio de base en aplicaciones lineales, matrices equivalentes
  204. Cambio de base en endomorfismos, matrices semejantes
  205. Anillo de los endomorfismos y grupo lineal
  206. Espacio dual, base dual
  207. Cambio de base en el espacio dual
  208. Subespacio conjugado o anulador
  209. Aplicación transpuesta
  210. Matrices de aplicaciones lineales
  211. Un endomorfismo nilpotente
  212. Hiperplanos
  213. Endomorfismo y suma $S_4=1^4+…+n^4.$
  214. Sucesiones exactas
  215. Endomorfismo en un subespacio de C(R)
  216. Un operador traspuesto en el espacio dual
  217. Interpolación en el espacio dual
  218. Clasificación de una familia de endomorfismos
  219. Dos aplicaciones lineales
  220. Endomorfismo en $\mathbb{C}$ sobre $\mathbb{R}$
  221. Espacio vectorial de las matrices circulantes
  222. Valores y vectores propios
  223. Concepto de valor y vector propio
  224. Primeras propiedades de los valores y vectores propios
  225. Cálculo de valores y vectores propios. Polinomio característico
  226. Endomorfismos diagonalizables
  227. Potencia enésima de una matriz por diagonalización
  228. Teorema de Cayley-Hamilton
  229. Diagonalización según parámetros
  230. Suma y producto de valores propios
  231. Valores propios del endomorfismo inverso
  232. Diagonalización de un endomorfismo en $M_2(\mathbb{R})$
  233. Diagonalización de un endomorfismo en $\mathbb{R}_2[x]$
  234. Valores propios de una matriz nilpotente
  235. Logaritmo de una matriz
  236. Un determinante por recurrencia
  237. Diagonalización en un espacio complejo
  238. Límite de una sucesión matricial
  239. Modelo de poblaciones
  240. Endomorfismo con modelo matemático
  241. Endomorfismo idempotente
  242. Límite de sucesión de puntos diagonalizando en $\mathbb{C}.$
  243. Diagonalización de involuciones
  244. Valor propio y asíntota horizontal
  245. Coseno de una matriz
  246. Matrices componentes
  247. Secante de una matriz (vídeo)
  248. Espacio vectorial como suma directa de dos núcleos
  249. Valores propios y determinante de una matriz circulante
  250. Formas canónicas de Jordan
  251. Bloque de Jordan
  252. Polinomio mínimo
  253. Forma canónica de Jordan
  254. Cálculo de una base de Jordan
  255. Potencia enésima por forma de Jordan
  256. Formas de Jordan de $AB$ y $BA$
  257. Forma canónica del operador derivación
  258. Número e y exponencial de una matriz
  259. Formas de Jordan de rango 1
  260. Espacio de funciones y forma de Jordan
  261. Matrices con cuadrado nulo
  262. Diagonalización de $A\in\mathbb{R}^{2\times 2}$ con funciones hiperbólicas
  263. $A$ y $B$ matrices reales y semejantes como complejas, lo son como reales
  264. Formas bilineales y cuadráticas
  265. Concepto de forma bilineal
  266. Espacio vectorial de las formas bilineales
  267. Matriz de una forma bilineal
  268. Formas bilineales simétricas y antisimétricas
  269. Suma directa de las formas bilineales simétricas y antisimétricas
  270. Formas bilineales: cambio de base
  271. Diagonalización de formas bilineales simétricas
  272. Concepto de forma cuadrática
  273. Forma polar de una forma cuadrática
  274. Diagonalización de formas cuadráticas por transformaciones elementales
  275. Diagonalización de formas cuadráticas: método de Gauss
  276. Ley de inercia de Sylvester
  277. Clasificación de formas cuadráticas
  278. Forma cuadrática mediante una integral
  279. Mínimo de una función cuadrática
  280. Funciones convexas y formas cuadráticas
  281. Núcleo de una forma cuadrática
  282. Forma cuadrática multiplicativa
  283. Semejanza, congruencia y equivalencia de dos matrices
  284. Forma bilineal y sistema diferencial
  285. Cociente de Rayleigh
  286. Principio de Rayleigh (vìdeo)
  287. Forma bilineal a partir de una suma directa
  288. Producto escalar
  289. Producto escalar real
  290. Espacio euclídeo, norma
  291. Desigualdad de Schwartz, ángulos
  292. Ortogonalidad en el espacio euclídeo
  293. Bases ortonormales, método de Schmidt
  294. Subespacio ortogonal
  295. Proyección ortogonal
  296. Mínima distancia de un vector a un subespacio
  297. Matrices ortogonales
  298. Operador traspuesto
  299. Operador ortogonal
  300. Operador simétrico, teorema espectral
  301. Giros alrededor de una recta
  302. Matriz adjunta
  303. Matrices hermíticas
  304. Concepto de forma sesquilineal
  305. Expresión matricial de una forma sesquilineal
  306. Concepto de forma hermítica o hermitiana
  307. Concepto de producto escalar complejo, espacio unitario
  308. Expresión matricial del producto escalar complejo
  309. Matrices unitarias
  310. Descomposición en valores singulares
  311. Matrices normales
  312. Matrices de proyección y simetría
  313. Lema de Schur
  314. Simetría de Householder
  315. Gram-Schmidt con integral impropia
  316. Proyección ortogonal en $\mathbb{R}_2[x]$
  317. Signatura de una forma cuadrática en un espacio euclídeo
  318. Un endomorfismo antisimétrico
  319. Un endomorfismo simétrico
  320. Automorfismo en un espacio euclídeo
  321. Endomorfismo, forma cuadrática y cono
  322. Subespacio ortogonal al de las matrices diagonales
  323. Diagonalización simultánea. Sistema diferencial de segundo orden
  324. Q(A) = (traza A)^2 – 2 det A
  325. Una matriz normal
  326. Inversa de $A\in\mathbb{R}^{3\times 3}$ e interpretación geométrica
  327. Mínimo de $L(f)=\int_a^bf(x)\;dx\cdot\int_a^b \frac{dx}{f(x)}$ mediante la desigualdad de Schwarz
  328. Polinomios de Legendre y operador simétrico
  329. Un operador autoadjunto y unitario
  330. Álgebra de los números complejos
  331. Cuerpo de los números complejos
  332. Operaciones con números complejos
  333. Raíz cuadrada de un número complejo
  334. Forma trigonométrica de los números complejos
  335. Números complejos: problemas diversos (1)
  336. Números complejos: problemas diversos (2)
  337. Afijos formando un triángulo rectángulo isósceles
  338. Polinomios
  339. División euclídea de polinomios
  340. Factorización de polinomios
  341. Fórmulas de Cardano-Vieta
  342. Raíces en progresión
  343. Raíces múltiples de polinomios
  344. Raíz cuádruple según parámetros
  345. Polinomio de interpolación de Lagrange
  346. Ecuación de tercer grado
  347. Polinomios en una variable: problemas diversos
  348. Descomposición de un polinomio en suma de productos de raíces
  349. Seno de $72^{\text{o}}$
  350. Familia de polinomios $p(x^2)=p(x)p(x+1)$
  351. Cotas de las raíces de un polinomio
  352. Raíces de $f(x)=x^3+\beta x^2-\overline{\beta}x-1$
  353. Polinomio de $\mathbb{Z}[x]$ con raíz $\alpha=2+\sqrt[3]{3}$
  354. Lema de Gauss
  355. Criterio de Eisenstein
  356. Polinomio de Motzkin
  357. Factorización en $\mathbb{C} [x]$ de $p(x)=(x+1)^n+(x-1)^n$
  358. Condiciones suficientes para que un polinomio sea irreducible en $\mathbb{K}[x]$
  359. Cónicas
  360. Clasificación de cónicas
  361. Rectas que componen las cónicas degeneradas
  362. Ecuaciones reducidas de las cónicas
  363. Centro y ejes de las cónicas
  364. Giros y traslaciones en las cónicas
  365. Familia uniparamétrica de cónicas
  366. Circunferencia, cónica y forma cuadrática
  367. Ejes de una cónica por diagonalización simultanea
  368. Superficies
  369. Superficies regladas
  370. Superficies de revolución
  371. Superficie de revolución y cónica
  372. Superficies de traslación
  373. Una cuádrica como lugar geométrico
  374. Cuádrica, giro y traslación
  375. Una curva plana
  376. Superficies: problemas diversos
  377. Generatrices rectilíneas de un hiperboloide de una hoja
  378. Programación lineal
  379. Método del simplex
  380. Máximo de una integral por el método del simplex.
  381. Método del simplex. Aplicación
  382. Método del simplex: aprovechamiento de un monte