Álgebra

Proporcionamos una colección de problemas resueltos de Álgebra. Se irán añadiendo otros sucesivamente.

    Conjuntos
  1. Concepto de conjunto
  2. Inclusión de conjuntos. Conjunto vacío
  3. Relaciones de inclusión y pertenencia
  4. Unión e intersección de conjuntos
  5. Propiedades de la unión e intersección
  6. Cardinal de la unión de tres conjuntos
  7. Partes de un conjunto, complementario y diferencia
  8. Propiedades del complementario
  9. Simplificaciones en las partes de un conjunto
  10. Diagramas de Venn
  11. Producto cartesiano
  12. Unión e intersección generalizadas
  13. Función característica
  14. Diferencia simétrica: propiedad asociativa
  15. Partes de uniones e intersecciones
  16. Cardinales de las sigma-álgebras contables
  17. Relaciones
  18. Concepto de relación binaria
  19. Relación de equivalencia, conjunto cociente
  20. Partición de un conjunto
  21. Concepto de relación de orden
  22. Máximo, mínimo, cotas
  23. Supremo, ínfimo, maximales y minimales
  24. Orden total, buen orden
  25. Diagramas de Hasse
  26. Relación de equivalencia en R[x]
  27. Tres relaciones en IN
  28. Finura de las relaciones de orden
  29. Funciones
  30. Concepto de función
  31. Composición de funciones
  32. Aplicaciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas
  33. Aplicación identidad, aplicación inversa
  34. Imágenes directas e inversas de conjuntos
  35. Biyección entre (-1,1) y IR
  36. Aplicación involutiva
  37. Factorización canónica de la función seno
  38. Estudio de la biyectividad de $f(X)=(A\cap X,B\cap X)$
  39. Cardinales infinitos no regulares
  40. Grupos
  41. Concepto de grupo
  42. Primeras propiedades de los grupos
  43. Subgrupos
  44. Tabla de Cayley
  45. Generadores de un grupo, grupo cíclico
  46. Subgrupos normales
  47. Subgrupo normal y centro
  48. Grupo cociente
  49. Grupo de clases residuales
  50. Homomorfismos de grupos
  51. Núcleo e imagen de un homomorfismo de grupos
  52. Clasificación de homomorfismos de grupos
  53. Descomposición canónica de un homomorfismo de grupos
  54. Grupo de las partes con la diferencia simétrica
  55. Tres igualdades en un grupo.
  56. Grupo no cíclico
  57. Grupo de funciones matriciales
  58. Conjunto, grupo y aplicación
  59. Relación y operaciones en el plano
  60. Grupo de aplicaciones afines.
  61. Centro de un grupo de matrices
  62. Grupo construido por biyección
  63. Conmutador y subgrupo derivado
  64. Todo grupo de orden 4 es abeliano
  65. Grupo de Klein y sus automorfismos
  66. Anillos y cuerpos
  67. Concepto de anillo
  68. Anillo de sucesiones
  69. Producto directo de anillos
  70. Anillos: notaciones y propiedades
  71. Grupo multiplicativo de las unidades
  72. Anillo de los enteros de Gauss
  73. Anillo de clases residuales
  74. Anillos de integridad
  75. Subanillos
  76. Homomorfismos de anillos
  77. Ideales de un anillo
  78. Ideal de las sucesiones acotadas
  79. Ideal bilátero f (I).
  80. Anillo cociente
  81. Descomposición canónica de un homomorfismo de anillos
  82. Concepto de cuerpo
  83. Cuerpos Z_p
  84. Característica de un cuerpo
  85. Homomorfismos entre cuerpos
  86. Anillo según parámetro
  87. Anillo y grupo de matrices
  88. Máximo común divisor en los enteros de Gauss
  89. Dominio de integridad no euclídeo
  90. Una unidad en el anillo cociente Q[X] / I
  91. Binomio de Newton en un anillo
  92. Anillo de las funciones reales
  93. Anillo idempotente
  94. Intersección de subcuerpos
  95. Cuerpo infinito con característica finita
  96. Cuerpo conmutativo con función sobre $\mathbb{R}^+$
  97. Cuaternios de Hamilton
  98. Cuerpo con 25 elementos (vídeo)
  99. Los grupos aditivo y multiplicativo de un cuerpo no son isomorfos
  100. Ideal maximal en el anillo de las funciones de clase infinito
  101. Semianillo tropical
  102. Unidades en el anillo de las series formales $A[[X]]$
  103. Caracterización de anillos noetherianos
  104. El anillo de las funciones continuas no es noetheriano
  105. Ideal generado por un subconjunto de un anillo
  106. $R$ dominio de integridad y no cuerpo, implica $R[x]$ no es dominio de ideales principales
  107. Cardinal de un cuerpo finito
  108. Cuerpo $\mathbb{Q}(\sqrt{5},i)$
  109. Los complejos no pueden ser un cuerpo ordenado
  110. $\langle 2, x \rangle$ no es ideal principal en $\mathbb{Z}[x]$
  111. Caracterizaciones de cuerpos
  112. Sistemas lineales
  113. Sistemas lineales escalonados
  114. Reducción gaussiana
  115. Sistemas lineales según parámetros
  116. Sistemas lineales, método de Gauss: problemas diversos
  117. Matrices
  118. Concepto de matriz, suma de matrices
  119. Grupo aditivo de las matrices sobre un cuerpo
  120. Producto de un escalar por una matriz
  121. Multiplicación de matrices
  122. Inversa de una matriz
  123. Inversa de orden n por el mátodo de Gauss
  124. Inversa de orden n por sistema de columnas
  125. Ecuaciones y sistemas matriciales
  126. Transposición de matrices
  127. Descomposición A=uv^t
  128. Matriz nilpotente e inversa
  129. Potencia enésima de matrices por binomio de Newton
  130. Traza de una matriz, propiedades
  131. Matrices mágicas
  132. Matriz de Markov
  133. Inversa generalizada
  134. Matrices cuadradas invertibles con coeficientes enteros
  135. Determinantes
  136. Determinantes sencillos
  137. Determinantes por triangularización
  138. Determinantes por inducción
  139. Determinante de Vandermonde
  140. Regla de Cramer
  141. Ceros por encima o debajo de la diagonal secundaria
  142. Determinante y sucesión de Fibonacci
  143. Determinante con números combinatorios
  144. Producto de enteros que son suma de cuatro cuadrados de enteros
  145. Determinante e inversa de orden n
  146. Determinante de I + v w
  147. Determinante por inducción y sistema lineal
  148. Derivada de un determinante
  149. Espacios vectoriales
  150. Primeras propiedades de los espacios vectoriales
  151. Espacio vectorial $\mathbb{K}^n$
  152. Espacio vectorial de las matrices sobre un cuerpo
  153. Espacio vectorial K[x]
  154. Espacio vectorial de las funciones reales
  155. Subcuerpo como espacio vectorial
  156. Subespacios vectoriales, caracterización
  157. Suma e intersección de subespacios
  158. Suma directa de subespacios
  159. Combinación lineal de vectores
  160. Dependencia e independencia lineal de vectores
  161. Base de un espacio vectorial
  162. Subespacio de las matrices diagonales, dimensión y base
  163. Subespacio de las matrices escalares, dimensión y base
  164. Subespacio de las matrices simétricas, dimensión y base
  165. Subespacio de las matrices antisimétricas, dimensión y base
  166. Subespacios de matrices triangulares, dimensión y base
  167. Rango de una matriz. Dependencia lineal en K^n
  168. Acotación del rango del producto de dos matrices
  169. Teorema de la base incompleta
  170. Existencia de base en todo espacio vectorial
  171. Dimensión de un espacio vectorial
  172. Teorema de la torre
  173. Propiedades de la dimensión
  174. Teorema de la dimensión para espacios vectoriales
  175. Teorema de Grassmann
  176. Coordenadas
  177. Cambio de base
  178. Ecuaciones de los subespacios
  179. Bases de la suma e intersección de subespacios
  180. Espacio vectorial cociente
  181. Cambio de base en orbitales atómicos
  182. Intersección de subespacios de (Z_7)^4
  183. Espacio vectorial de las funciones definidas en un conjunto
  184. Realificación de un espacio vectorial complejo
  185. Subespacios transversales
  186. Wronskiano
  187. Aplicaciones lineales
  188. Concepto de aplicación lineal
  189. Núcleo e imagen de una aplicación lineal
  190. Teorema de las dimensiones para aplicaciones lineales
  191. Matriz de una aplicación lineal
  192. Expresión matricial de una aplicación lineal
  193. Núcleo e imagen del operador derivación
  194. Clasificación de aplicaciones lineales
  195. El espacio vectorial de las aplicaciones lineales
  196. Composición de aplicaciones lineales
  197. Descomposición canónica de una aplicación lineal, teorema de isomorfía
  198. Cambio de base en aplicaciones lineales, matrices equivalentes
  199. Cambio de base en endomorfismos, matrices semejantes
  200. Anillo de los endomorfismos y grupo lineal
  201. Espacio dual, base dual
  202. Cambio de base en el espacio dual
  203. Subespacio conjugado o anulador
  204. Aplicación transpuesta
  205. Matrices de aplicaciones lineales
  206. Un endomorfismo nilpotente
  207. Hiperplanos
  208. Endomorfismo y suma $S_4=1^4+…+n^4.$
  209. Sucesiones exactas
  210. Endomorfismo en un subespacio de C(R)
  211. Un operador traspuesto en el espacio dual
  212. Interpolación en el espacio dual
  213. Clasificación de una familia de endomorfismos
  214. Dos aplicaciones lineales
  215. Endomorfismo en C sobre R
  216. Valores y vectores propios
  217. Concepto de valor y vector propio
  218. Primeras propiedades de los valores y vectores propios
  219. Cálculo de valores y vectores propios. Polinomio característico
  220. Endomorfismos diagonalizables
  221. Potencia enésima de una matriz por diagonalización
  222. Teorema de Cayley-Hamilton
  223. Diagonalización según parámetros
  224. Suma y producto de valores propios
  225. Valores propios del endomorfismo inverso
  226. Diagonalización de un endomorfismo en M_2(R)
  227. Diagonalización de un endomorfismo en R_2[x]
  228. Valores propios de una matriz nilpotente
  229. Logaritmo de una matriz
  230. Un determinante por recurrencia
  231. Diagonalización en un espacio complejo
  232. Límite de una sucesión matricial
  233. Modelo de poblaciones
  234. Endomorfismo con modelo matemático
  235. Endomorfismo idempotente
  236. Límite de sucesión de puntos diagonalizando en $\mathbb{C}.$
  237. Diagonalización de involuciones
  238. Valor propio y asíntota horizontal
  239. Coseno de una matriz
  240. Matrices componentes
  241. Secante de una matriz (vídeo)
  242. Espacio vectorial como suma directa de dos núcleos
  243. Formas canónicas de Jordan
  244. Bloque de Jordan
  245. Polinomio mínimo
  246. Forma canónica de Jordan
  247. Cálculo de una base de Jordan
  248. Potencia enésima por forma de Jordan
  249. Formas de Jordan de $AB$ y $BA$
  250. Forma canónica del operador derivación
  251. Número e y exponencial de una matriz
  252. Formas de Jordan de rango 1
  253. Espacio de funciones y forma de Jordan
  254. Matrices con cuadrado nulo
  255. Diagonalización de $A\in\mathbb{R}^{2\times 2}$ con funciones hiperbólicas
  256. $A$ y $B$ matrices reales y semejantes como complejas, lo son como reales
  257. Formas bilineales y cuadráticas
  258. Concepto de forma bilineal
  259. Espacio vectorial de las formas bilineales
  260. Matriz de una forma bilineal
  261. Formas bilineales simétricas y antisimétricas
  262. Suma directa de las formas bilineales simétricas y antisimétricas
  263. Formas bilineales: cambio de base
  264. Diagonalización de formas bilineales simétricas
  265. Concepto de forma cuadrática
  266. Forma polar de una forma cuadrática
  267. Diagonalización de formas cuadráticas por transformaciones elementales
  268. Diagonalización de formas cuadráticas: método de Gauss
  269. Ley de inercia de Sylvester
  270. Clasificación de formas cuadráticas
  271. Forma cuadrática mediante una integral
  272. Mínimo de una función cuadrática
  273. Funciones convexas y formas cuadráticas
  274. Núcleo de una forma cuadrática
  275. Forma cuadrática multiplicativa
  276. Semejanza, congruencia y equivalencia de dos matrices
  277. Forma bilineal y sistema diferencial
  278. Cociente de Rayleigh
  279. Principio de Rayleigh (vìdeo)
  280. Forma bilineal a partir de una suma directa
  281. Producto escalar
  282. Producto escalar real
  283. Espacio euclídeo, norma
  284. Desigualdad de Schwartz, ángulos
  285. Ortogonalidad en el espacio euclídeo
  286. Bases ortonormales, método de Schmidt
  287. Subespacio ortogonal
  288. Proyección ortogonal
  289. Mínima distancia de un vector a un subespacio
  290. Matrices ortogonales
  291. Operador traspuesto
  292. Operador ortogonal
  293. Operador simétrico, teorema espectral
  294. Giros alrededor de una recta
  295. Matriz adjunta
  296. Matrices hermíticas
  297. Concepto de forma sesquilineal
  298. Expresión matricial de una forma sesquilineal
  299. Concepto de forma hermítica o hermitiana
  300. Concepto de producto escalar complejo, espacio unitario
  301. Expresión matricial del producto escalar complejo
  302. Matrices unitarias
  303. Descomposición en valores singulares
  304. Matrices normales
  305. Matrices de proyección y simetría
  306. Lema de Schur
  307. Simetría de Householder
  308. Gram-Schmidt con integral impropia
  309. Proyección ortogonal en $\mathbb{R}_2[x]$
  310. Signatura de una forma cuadrática en un espacio euclídeo
  311. Un endomorfismo antisimétrico
  312. Un endomorfismo simétrico
  313. Automorfismo en un espacio euclídeo
  314. Endomorfismo, forma cuadrática y cono
  315. Subespacio ortogonal al de las matrices diagonales
  316. Diagonalización simultánea. Sistema diferencial de segundo orden
  317. Q(A) = (traza A)^2 – 2 det A
  318. Una matriz normal
  319. Inversa de $A\in\mathbb{R}^{3\times 3}$ e interpretación geométrica
  320. Mínimo de $L(f)=\int_a^bf(x)\;dx\cdot\int_a^b \frac{dx}{f(x)}$ mediante la desigualdad de Schwarz
  321. Polinomios de Legendre y operador simétrico
  322. Un operador autoadjunto y unitario
  323. Álgebra de los números complejos
  324. Cuerpo de los números complejos
  325. Operaciones con números complejos
  326. Raíz cuadrada de un número complejo
  327. Forma trigonométrica de los números complejos
  328. Números complejos: problemas diversos (1)
  329. Números complejos: problemas diversos (2)
  330. Afijos formando un triángulo rectángulo isósceles
  331. Polinomios
  332. División euclídea de polinomios
  333. Factorización de polinomios
  334. Fórmulas de Cardano-Vieta
  335. Raíces en progresión
  336. Raíces múltiples de polinomios
  337. Raíz cuádruple según parámetros
  338. Polinomio de interpolación de Lagrange
  339. Ecuación de tercer grado
  340. Polinomios en una variable: problemas diversos
  341. Descomposición de un polinomio en suma de productos de raíces
  342. Seno de $72^{\text{o}}$
  343. Familia de polinomios $p(x^2)=p(x)p(x+1)$
  344. Cotas de las raíces de un polinomio
  345. Raíces de $f(x)=x^3+\beta x^2-\overline{\beta}x-1$
  346. Polinomio de $\mathbb{Z}[x]$ con raíz $\alpha=2+\sqrt[3]{3}$
  347. Lema de Gauss
  348. Criterio de Eisenstein
  349. Polinomio de Motzkin
  350. Factorización en $\mathbb{C} [x]$ de $p(x)=(x+1)^n+(x-1)^n$
  351. Cónicas
  352. Clasificación de cónicas
  353. Rectas que componen las cónicas degeneradas
  354. Ecuaciones reducidas de las cónicas
  355. Centro y ejes de las cónicas
  356. Giros y traslaciones en las cónicas
  357. Familia uniparamétrica de cónicas
  358. Circunferencia, cónica y forma cuadrática
  359. Ejes de una cónica por diagonalización simultanea
  360. Superficies
  361. Superficies regladas
  362. Superficies de revolución
  363. Superficie de revolución y cónica
  364. Superficies de traslación
  365. Una cuádrica como lugar geométrico
  366. Cuádrica, giro y traslación
  367. Una curva plana
  368. Superficies: problemas diversos
  369. Generatrices rectilíneas de un hiperboloide de una hoja
  370. Programación lineal
  371. Método del simplex
  372. Máximo de una integral por el método del simplex.
  373. Método del simplex. Aplicación
  374. Método del simplex: aprovechamiento de un monte