Álgebra

Proporcionamos una colección de problemas resueltos de Álgebra. Se irán añadiendo otros sucesivamente.

    Conjuntos
  1. Concepto de conjunto
  2. Inclusión de conjuntos. Conjunto vacío
  3. Unión e intersección de conjuntos
  4. Propiedades de la unión e intersección
  5. Cardinal de la unión de tres conjuntos
  6. Partes de un conjunto, complementario y diferencia
  7. Relaciones de inclusión y pertenencia
  8. Propiedades del complementario
  9. Simplificaciones en las partes de un conjunto
  10. Diagramas de Venn
  11. Producto cartesiano
  12. Unión e intersección generalizadas
  13. Función característica
  14. Diferencia simétrica: propiedad asociativa
  15. Partes de uniones e intersecciones
  16. Cardinales de las sigma-álgebras contables
  17. Límite de una sucesión de conjuntos
  18. Cardinal de la unión de $n$ conjuntos
  19. Relaciones
  20. Concepto de relación binaria
  21. Relación de equivalencia, conjunto cociente
  22. Partición de un conjunto
  23. Concepto de relación de orden
  24. Máximo, mínimo, cotas
  25. Supremo, ínfimo, maximales y minimales
  26. Orden total, buen orden
  27. Diagramas de Hasse
  28. Relación de equivalencia en $\mathbb{R}[x]$
  29. Tres relaciones en $\mathbb{N}$
  30. Finura de las relaciones de orden
  31. Funciones
  32. Concepto de función
  33. Composición de funciones
  34. Aplicaciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas
  35. Aplicación identidad, aplicación inversa
  36. Imágenes directas e inversas de conjuntos
  37. Biyección entre $(-1,1)$ y $\mathbb{R}$
  38. Aplicación involutiva
  39. Factorización canónica de la función seno
  40. Estudio de la biyectividad de $f(X)=(A\cap X,B\cap X)$
  41. Cardinales infinitos no regulares
  42. Grupos
  43. Concepto de grupo
  44. Primeras propiedades de los grupos
  45. Subgrupos
  46. Tabla de Cayley
  47. Generadores de un grupo, grupo cíclico
  48. Subgrupos normales
  49. Subgrupo normal y centro
  50. Grupo cociente
  51. Grupo de clases residuales
  52. Homomorfismos de grupos
  53. Núcleo e imagen de un homomorfismo de grupos
  54. Clasificación de homomorfismos de grupos
  55. Descomposición canónica de un homomorfismo de grupos
  56. Grupo de las partes con la diferencia simétrica
  57. Tres igualdades en un grupo.
  58. Grupo no cíclico
  59. Grupo de funciones matriciales
  60. Conjunto, grupo y aplicación
  61. Relación y operaciones en el plano
  62. Grupo de aplicaciones afines.
  63. Centro de un grupo de matrices
  64. Grupo construido por biyección
  65. Conmutador y subgrupo derivado
  66. Todo grupo de orden 4 es abeliano
  67. Grupo de Klein y sus automorfismos
  68. Los grupos $\mathbb{R}^\times$ y $\mathbb{C}^\times$ no son isomorfos
  69. Anillos y cuerpos
  70. Concepto de anillo
  71. Anillo de sucesiones
  72. Producto directo de anillos
  73. Anillos: notaciones y propiedades
  74. Grupo multiplicativo de las unidades
  75. Anillo de los enteros de Gauss
  76. Anillo de clases residuales
  77. Anillos de integridad
  78. Subanillos
  79. Homomorfismos de anillos
  80. Ideales de un anillo
  81. Ideal de las sucesiones nulas
  82. Ideal bilátero f (I).
  83. Anillo cociente
  84. Descomposición canónica de un homomorfismo de anillos
  85. Concepto de cuerpo
  86. Cuerpos $\mathbb{Z}_p$
  87. Característica de un cuerpo
  88. Homomorfismos entre cuerpos
  89. Anillo según parámetro
  90. Anillo y grupo de matrices
  91. Máximo común divisor en los enteros de Gauss
  92. Dominio de integridad no euclídeo
  93. Una unidad en el anillo cociente $\mathbb{Q}[X] / I$
  94. Binomio de Newton en un anillo
  95. Anillo de las funciones reales
  96. Anillo idempotente
  97. Intersección de subcuerpos
  98. Cuerpo infinito con característica finita
  99. Cuerpo conmutativo con función sobre $\mathbb{R}^+$
  100. Cuaternios de Hamilton
  101. Cuerpo con 25 elementos (vídeo)
  102. Los grupos aditivo y multiplicativo de un cuerpo no son isomorfos
  103. Ideal maximal en el anillo de las funciones de clase infinito
  104. Semianillo tropical
  105. Unidades en el anillo de las series formales $A[[X]]$
  106. Caracterización de anillos noetherianos
  107. El anillo de las funciones continuas no es noetheriano
  108. Ideal generado por un subconjunto de un anillo
  109. $R$ dominio de integridad y no cuerpo, implica $R[x]$ no es dominio de ideales principales
  110. Cardinal de un cuerpo finito
  111. Cuerpo $\mathbb{Q}(\sqrt{5},i)$
  112. Los complejos no pueden ser un cuerpo ordenado
  113. $\langle 2, x \rangle$ no es ideal principal en $\mathbb{Z}[x]$
  114. Caracterizaciones de cuerpos
  115. Inverso de un elemento en $\mathbb{Q}/\langle x^2+x+1 \rangle $
  116. Cuerpo primo
  117. Sistemas lineales
  118. Sistemas lineales escalonados
  119. Reducción gaussiana
  120. Sistemas lineales según parámetros
  121. Sistemas lineales, método de Gauss: problemas diversos
  122. Matrices
  123. Concepto de matriz, suma de matrices
  124. Grupo aditivo de las matrices sobre un cuerpo
  125. Producto de un escalar por una matriz
  126. Multiplicación de matrices
  127. Inversa de una matriz
  128. Inversa de orden n por el método de Gauss
  129. Inversa de orden n por sistema de columnas
  130. Ecuaciones y sistemas matriciales
  131. Transposición de matrices
  132. Descomposición $A=uv^t$
  133. Matriz nilpotente e inversa
  134. Potencia enésima de matrices por binomio de Newton
  135. Traza de una matriz, propiedades
  136. Matrices mágicas
  137. Matriz de Markov
  138. Inversa generalizada
  139. Matrices cuadradas invertibles con coeficientes enteros
  140. Determinantes
  141. Determinantes sencillos
  142. Determinantes por triangularización
  143. Determinantes por inducción
  144. Determinante de Vandermonde
  145. Regla de Cramer
  146. Ceros por encima o debajo de la diagonal secundaria
  147. Determinante y sucesión de Fibonacci
  148. Determinante con números combinatorios
  149. Producto de enteros que son suma de cuatro cuadrados de enteros
  150. Determinante e inversa de orden n
  151. Determinante de $I + v w$
  152. Determinante por inducción y sistema lineal
  153. Derivada de un determinante
  154. Espacios vectoriales
  155. Primeras propiedades de los espacios vectoriales
  156. Espacio vectorial $\mathbb{K}^n$
  157. Espacio vectorial de las matrices sobre un cuerpo
  158. Espacio vectorial $\mathbb{K}[x]$
  159. Espacio vectorial de las funciones reales
  160. Subcuerpo como espacio vectorial
  161. Subespacios vectoriales, caracterización
  162. Suma e intersección de subespacios
  163. Suma directa de subespacios
  164. Combinación lineal de vectores
  165. Dependencia e independencia lineal de vectores
  166. Base de un espacio vectorial
  167. Subespacio de las matrices diagonales, dimensión y base
  168. Subespacio de las matrices escalares, dimensión y base
  169. Subespacio de las matrices simétricas, dimensión y base
  170. Subespacio de las matrices antisimétricas, dimensión y base
  171. Subespacios de matrices triangulares, dimensión y base
  172. Rango de una matriz. Dependencia lineal en $\mathbb {K}^n$
  173. Acotación del rango del producto de dos matrices
  174. Teorema de la base incompleta
  175. Existencia de base en todo espacio vectorial
  176. Dimensión de un espacio vectorial
  177. Teorema de la torre
  178. Propiedades de la dimensión
  179. Teorema de la dimensión para espacios vectoriales
  180. Teorema de Grassmann
  181. Coordenadas
  182. Cambio de base
  183. Ecuaciones de los subespacios
  184. Bases de la suma e intersección de subespacios
  185. Espacio vectorial cociente
  186. Cambio de base en orbitales atómicos
  187. Intersección de subespacios de $(\mathbb{Z}_7)^4$
  188. Espacio vectorial de las funciones definidas en un conjunto
  189. Realificación de un espacio vectorial complejo
  190. Subespacios transversales
  191. Wronskiano
  192. Un espacio vectorial no usual
  193. Aplicaciones lineales
  194. Concepto de aplicación lineal
  195. Núcleo e imagen de una aplicación lineal
  196. Teorema de las dimensiones para aplicaciones lineales
  197. Matriz de una aplicación lineal
  198. Expresión matricial de una aplicación lineal
  199. Núcleo e imagen del operador derivación
  200. Clasificación de aplicaciones lineales
  201. El espacio vectorial de las aplicaciones lineales
  202. Composición de aplicaciones lineales
  203. Descomposición canónica de una aplicación lineal, teorema de isomorfía
  204. Cambio de base en aplicaciones lineales, matrices equivalentes
  205. Cambio de base en endomorfismos, matrices semejantes
  206. Anillo de los endomorfismos y grupo lineal
  207. Espacio dual, base dual
  208. Cambio de base en el espacio dual
  209. Subespacio conjugado o anulador
  210. Aplicación transpuesta
  211. Matrices de aplicaciones lineales
  212. Un endomorfismo nilpotente
  213. Hiperplanos
  214. Endomorfismo y suma $S_4=1^4+…+n^4.$
  215. Sucesiones exactas
  216. Endomorfismo en un subespacio de C(R)
  217. Un operador traspuesto en el espacio dual
  218. Interpolación en el espacio dual
  219. Clasificación de una familia de endomorfismos
  220. Dos aplicaciones lineales
  221. Endomorfismo en $\mathbb{C}$ sobre $\mathbb{R}$
  222. Espacio vectorial de las matrices circulantes
  223. Valores y vectores propios
  224. Concepto de valor y vector propio
  225. Primeras propiedades de los valores y vectores propios
  226. Cálculo de valores y vectores propios. Polinomio característico
  227. Endomorfismos diagonalizables
  228. Potencia enésima de una matriz por diagonalización
  229. Teorema de Cayley-Hamilton
  230. Diagonalización según parámetros
  231. Suma y producto de valores propios
  232. Valores propios del endomorfismo inverso
  233. Diagonalización de un endomorfismo en $M_2(\mathbb{R})$
  234. Diagonalización de un endomorfismo en $\mathbb{R}_2[x]$
  235. Valores propios de una matriz nilpotente
  236. Logaritmo de una matriz
  237. Un determinante por recurrencia
  238. Diagonalización en un espacio complejo
  239. Límite de una sucesión matricial
  240. Modelo de poblaciones
  241. Endomorfismo con modelo matemático
  242. Endomorfismo idempotente
  243. Límite de sucesión de puntos diagonalizando en $\mathbb{C}.$
  244. Diagonalización de involuciones
  245. Valor propio y asíntota horizontal
  246. Coseno de una matriz
  247. Matrices componentes
  248. Secante de una matriz (vídeo)
  249. Espacio vectorial como suma directa de dos núcleos
  250. Valores propios y determinante de una matriz circulante
  251. Formas canónicas de Jordan
  252. Bloque de Jordan
  253. Polinomio mínimo
  254. Forma canónica de Jordan
  255. Cálculo de una base de Jordan
  256. Potencia enésima por forma de Jordan
  257. Formas de Jordan de $AB$ y $BA$
  258. Forma canónica del operador derivación
  259. Número e y exponencial de una matriz
  260. Formas de Jordan de rango 1
  261. Espacio de funciones y forma de Jordan
  262. Matrices con cuadrado nulo
  263. Diagonalización de $A\in\mathbb{R}^{2\times 2}$ con funciones hiperbólicas
  264. $A$ y $B$ matrices reales y semejantes como complejas, lo son como reales
  265. Formas bilineales y cuadráticas
  266. Concepto de forma bilineal
  267. Espacio vectorial de las formas bilineales
  268. Matriz de una forma bilineal
  269. Formas bilineales simétricas y antisimétricas
  270. Suma directa de las formas bilineales simétricas y antisimétricas
  271. Formas bilineales: cambio de base
  272. Diagonalización de formas bilineales simétricas
  273. Concepto de forma cuadrática
  274. Forma polar de una forma cuadrática
  275. Diagonalización de formas cuadráticas por transformaciones elementales
  276. Diagonalización de formas cuadráticas: método de Gauss
  277. Ley de inercia de Sylvester
  278. Clasificación de formas cuadráticas
  279. Forma cuadrática mediante una integral
  280. Mínimo de una función cuadrática
  281. Funciones convexas y formas cuadráticas
  282. Núcleo de una forma cuadrática
  283. Forma cuadrática multiplicativa
  284. Semejanza, congruencia y equivalencia de dos matrices
  285. Forma bilineal y sistema diferencial
  286. Cociente de Rayleigh
  287. Principio de Rayleigh (vìdeo)
  288. Forma bilineal a partir de una suma directa
  289. Concepto de producto tensorial
  290. Concepto de aplicación multilineal
  291. Espacio vectorial de las aplicaciones multilineales
  292. Problema de la aplicación universal
  293. Espacio vectorial producto
  294. Suma directa externa de espacios
  295. Producto tensorial
  296. Producto escalar
  297. Producto escalar real
  298. Espacio euclídeo, norma
  299. Desigualdad de Schwartz, ángulos
  300. Ortogonalidad en el espacio euclídeo
  301. Bases ortonormales, método de Schmidt
  302. Subespacio ortogonal
  303. Proyección ortogonal
  304. Mínima distancia de un vector a un subespacio
  305. Matrices ortogonales
  306. Operador traspuesto
  307. Operador ortogonal
  308. Operador simétrico, teorema espectral
  309. Giros alrededor de una recta
  310. Matriz adjunta
  311. Matrices hermíticas
  312. Concepto de forma sesquilineal
  313. Expresión matricial de una forma sesquilineal
  314. Concepto de forma hermítica o hermitiana
  315. Concepto de producto escalar complejo, espacio unitario
  316. Expresión matricial del producto escalar complejo
  317. Matrices unitarias
  318. Descomposición en valores singulares
  319. Matrices normales
  320. Matrices de proyección y simetría
  321. Lema de Schur
  322. Simetría de Householder
  323. Gram-Schmidt con integral impropia
  324. Proyección ortogonal en $\mathbb{R}_2[x]$
  325. Signatura de una forma cuadrática en un espacio euclídeo
  326. Un endomorfismo antisimétrico
  327. Un endomorfismo simétrico
  328. Automorfismo en un espacio euclídeo
  329. Endomorfismo, forma cuadrática y cono
  330. Subespacio ortogonal al de las matrices diagonales
  331. Diagonalización simultánea. Sistema diferencial de segundo orden
  332. $Q(A) = (\text{traza } A)^2 – 2 \det A$
  333. Una matriz normal
  334. Inversa de $A\in\mathbb{R}^{3\times 3}$ e interpretación geométrica
  335. Mínimo de $L(f)=\int_a^bf(x)\;dx\cdot\int_a^b \frac{dx}{f(x)}$ mediante la desigualdad de Schwarz
  336. Polinomios de Legendre y operador simétrico
  337. Un operador autoadjunto y unitario
  338. Operador de Sturm-Liouville
  339. Isometrías en $\mathbb{R}^n$
  340. Álgebra de los números complejos
  341. Cuerpo de los números complejos
  342. Operaciones con números complejos
  343. Raíz cuadrada de un número complejo
  344. Forma trigonométrica de los números complejos
  345. Números complejos: problemas diversos (1)
  346. Números complejos: problemas diversos (2)
  347. Afijos formando un triángulo rectángulo isósceles
  348. Isometrías en el plano
  349. Polinomios
  350. División euclídea de polinomios
  351. Factorización de polinomios
  352. Fórmulas de Cardano-Vieta
  353. Raíces en progresión
  354. Raíces múltiples de polinomios
  355. Raíz cuádruple según parámetros
  356. Polinomio de interpolación de Lagrange
  357. Ecuación de tercer grado
  358. Polinomios en una variable: problemas diversos
  359. Descomposición de un polinomio en suma de productos de raíces
  360. Seno de $72^{\text{o}}$
  361. Familia de polinomios $p(x^2)=p(x)p(x+1)$
  362. Cotas de las raíces de un polinomio
  363. Raíces de $f(x)=x^3+\beta x^2-\overline{\beta}x-1$
  364. Polinomio de $\mathbb{Z}[x]$ con raíz $\alpha=2+\sqrt[3]{3}$
  365. Lema de Gauss
  366. Criterio de Eisenstein
  367. Polinomio de Motzkin
  368. Factorización en $\mathbb{C} [x]$ de $p(x)=(x+1)^n+(x-1)^n$
  369. Condiciones suficientes para que un polinomio sea irreducible en $\mathbb{K}[x]$
  370. Cónicas
  371. Clasificación de cónicas
  372. Rectas que componen las cónicas degeneradas
  373. Ecuaciones reducidas de las cónicas
  374. Centro y ejes de las cónicas
  375. Giros y traslaciones en las cónicas
  376. Familia uniparamétrica de cónicas
  377. Circunferencia, cónica y forma cuadrática
  378. Ejes de una cónica por diagonalización simultanea
  379. Superficies
  380. Superficies regladas
  381. Superficies de revolución
  382. Superficie de revolución y cónica
  383. Superficies de traslación
  384. Una cuádrica como lugar geométrico
  385. Cuádrica, giro y traslación
  386. Una curva plana
  387. Superficies: problemas diversos
  388. Generatrices rectilíneas de un hiperboloide de una hoja
  389. Programación lineal
  390. Método del simplex
  391. Máximo de una integral por el método del simplex.
  392. Método del simplex. Aplicación
  393. Método del simplex: aprovechamiento de un monte