Álgebra

Proporcionamos una colección de problemas resueltos de Álgebra. Se irán añadiendo otros sucesivamente.

    Conjuntos
  1. Concepto de conjunto
  2. Inclusión de conjuntos. Conjunto vacío
  3. Unión e intersección de conjuntos
  4. Propiedades de la unión e intersección
  5. Cardinal de la unión de tres conjuntos
  6. Partes de un conjunto, complementario y diferencia
  7. Relaciones de inclusión y pertenencia
  8. Propiedades del complementario
  9. Simplificaciones en las partes de un conjunto
  10. Diagramas de Venn
  11. Producto cartesiano
  12. Unión e intersección generalizadas
  13. Función característica
  14. Diferencia simétrica: propiedad asociativa
  15. Partes de uniones e intersecciones
  16. Cardinales de las sigma-álgebras contables
  17. Límite de una sucesión de conjuntos
  18. Cardinal de la unión de $n$ conjuntos
  19. Relaciones
  20. Concepto de relación binaria
  21. Relación de equivalencia, conjunto cociente
  22. Partición de un conjunto
  23. Concepto de relación de orden
  24. Máximo, mínimo, cotas
  25. Supremo, ínfimo, maximales y minimales
  26. Orden total, buen orden
  27. Diagramas de Hasse
  28. Relación de equivalencia en $\mathbb{R}[x]$
  29. Tres relaciones en $\mathbb{N}$
  30. Finura de las relaciones de orden
  31. Funciones
  32. Concepto de función
  33. Composición de funciones
  34. Aplicaciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas
  35. Aplicación identidad, aplicación inversa
  36. Imágenes directas e inversas de conjuntos
  37. Biyección entre $(-1,1)$ y $\mathbb{R}$
  38. Aplicación involutiva
  39. Factorización canónica de la función seno
  40. Estudio de la biyectividad de $f(X)=(A\cap X,B\cap X)$
  41. Cardinales infinitos no regulares
  42. Grupos
  43. Concepto de grupo
  44. Primeras propiedades de los grupos
  45. Subgrupos
  46. Tabla de Cayley
  47. Generadores de un grupo, grupo cíclico
  48. Subgrupos normales
  49. Subgrupo normal y centro
  50. Grupo cociente
  51. Grupo de clases residuales
  52. Homomorfismos de grupos
  53. Núcleo e imagen de un homomorfismo de grupos
  54. Clasificación de homomorfismos de grupos
  55. Descomposición canónica de un homomorfismo de grupos
  56. Grupo de las partes con la diferencia simétrica
  57. Tres igualdades en un grupo.
  58. Grupo no cíclico
  59. Grupo de funciones matriciales
  60. Conjunto, grupo y aplicación
  61. Relación y operaciones en el plano
  62. Grupo de aplicaciones afines.
  63. Centro de un grupo de matrices
  64. Grupo construido por biyección
  65. Conmutador y subgrupo derivado
  66. Todo grupo de orden 4 es abeliano
  67. Grupo de Klein y sus automorfismos
  68. Los grupos $\mathbb{R}^\times$ y $\mathbb{C}^\times$ no son isomorfos
  69. Anillos y cuerpos
  70. Concepto de anillo
  71. Anillo de sucesiones
  72. Producto directo de anillos
  73. Anillos: notaciones y propiedades
  74. Grupo multiplicativo de las unidades
  75. Anillo de los enteros de Gauss
  76. Anillo de clases residuales
  77. Anillos de integridad
  78. Subanillos
  79. Homomorfismos de anillos
  80. Ideales de un anillo
  81. Ideal de las sucesiones nulas
  82. Ideal bilátero f (I).
  83. Anillo cociente
  84. Descomposición canónica de un homomorfismo de anillos
  85. Concepto de cuerpo
  86. Cuerpos $\mathbb{Z}_p$
  87. Característica de un cuerpo
  88. Homomorfismos entre cuerpos
  89. Anillo según parámetro
  90. Anillo y grupo de matrices
  91. Máximo común divisor en los enteros de Gauss
  92. Dominio de integridad no euclídeo
  93. Una unidad en el anillo cociente $\mathbb{Q}[X] / I$
  94. Binomio de Newton en un anillo
  95. Anillo de las funciones reales
  96. Anillo idempotente
  97. Intersección de subcuerpos
  98. Cuerpo infinito con característica finita
  99. Cuerpo conmutativo con función sobre $\mathbb{R}^+$
  100. Cuaternios de Hamilton
  101. Cuerpo con 25 elementos (vídeo)
  102. Los grupos aditivo y multiplicativo de un cuerpo no son isomorfos
  103. Ideal maximal en el anillo de las funciones de clase infinito
  104. Semianillo tropical
  105. Unidades en el anillo de las series formales $A[[X]]$
  106. Caracterización de anillos noetherianos
  107. El anillo de las funciones continuas no es noetheriano
  108. Ideal generado por un subconjunto de un anillo
  109. $R$ dominio de integridad y no cuerpo, implica $R[x]$ no es dominio de ideales principales
  110. Cardinal de un cuerpo finito
  111. Cuerpo $\mathbb{Q}(\sqrt{5},i)$
  112. Los complejos no pueden ser un cuerpo ordenado
  113. $\langle 2, x \rangle$ no es ideal principal en $\mathbb{Z}[x]$
  114. Caracterizaciones de cuerpos
  115. Inverso de un elemento en $\mathbb{Q}/\langle x^2+x+1 \rangle $
  116. Cuerpo primo
  117. Un cuerpo de matrices isomorfo al de los complejos
  118. Anillos $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$
  119. Sistemas lineales
  120. Sistemas lineales escalonados
  121. Reducción gaussiana
  122. Sistemas lineales según parámetros
  123. Sistemas lineales, método de Gauss: problemas diversos
  124. Matrices
  125. Concepto de matriz, suma de matrices
  126. Grupo aditivo de las matrices sobre un cuerpo
  127. Producto de un escalar por una matriz
  128. Multiplicación de matrices
  129. Inversa de una matriz
  130. Inversa de orden n por el método de Gauss
  131. Inversa de orden n por sistema de columnas
  132. Ecuaciones y sistemas matriciales
  133. Transposición de matrices
  134. Descomposición $A=uv^t$
  135. Matriz nilpotente e inversa
  136. Potencia enésima de matrices por binomio de Newton
  137. Traza de una matriz, propiedades
  138. Matrices mágicas
  139. Matriz de Markov
  140. Inversa generalizada
  141. Matrices cuadradas invertibles con coeficientes enteros
  142. Determinantes
  143. Determinantes sencillos
  144. Determinantes por triangularización
  145. Determinantes por inducción
  146. Determinante de Vandermonde
  147. Regla de Cramer
  148. Ceros por encima o debajo de la diagonal secundaria
  149. Determinante y sucesión de Fibonacci
  150. Determinante con números combinatorios
  151. Producto de enteros que son suma de cuatro cuadrados de enteros
  152. Determinante e inversa de orden n
  153. Determinante de $I + v w$
  154. Determinante por inducción y sistema lineal
  155. Derivada de un determinante
  156. Igualdad de matrices a partir de una de determinantes
  157. Espacios vectoriales
  158. Primeras propiedades de los espacios vectoriales
  159. Espacio vectorial $\mathbb{K}^n$
  160. Espacio vectorial de las matrices sobre un cuerpo
  161. Espacio vectorial $\mathbb{K}[x]$
  162. Espacio vectorial de las funciones reales
  163. Subcuerpo como espacio vectorial
  164. Subespacios vectoriales, caracterización
  165. Suma e intersección de subespacios
  166. Suma directa de subespacios
  167. Combinación lineal de vectores
  168. Dependencia e independencia lineal de vectores
  169. Base de un espacio vectorial
  170. Subespacio de las matrices diagonales, dimensión y base
  171. Subespacio de las matrices escalares, dimensión y base
  172. Subespacio de las matrices simétricas, dimensión y base
  173. Subespacio de las matrices antisimétricas, dimensión y base
  174. Subespacios de matrices triangulares, dimensión y base
  175. Rango de una matriz. Dependencia lineal en $\mathbb {K}^n$
  176. Acotación del rango del producto de dos matrices
  177. Teorema de la base incompleta
  178. Existencia de base en todo espacio vectorial
  179. Dimensión de un espacio vectorial
  180. Teorema de la torre
  181. Propiedades de la dimensión
  182. Teorema de la dimensión para espacios vectoriales
  183. Teorema de Grassmann
  184. Coordenadas
  185. Cambio de base
  186. Ecuaciones de los subespacios
  187. Bases de la suma e intersección de subespacios
  188. Espacio vectorial cociente
  189. Cambio de base en orbitales atómicos
  190. Intersección de subespacios de $(\mathbb{Z}_7)^4$
  191. Espacio vectorial de las funciones definidas en un conjunto
  192. Realificación de un espacio vectorial complejo
  193. Subespacios transversales
  194. Wronskiano
  195. Un espacio vectorial no usual
  196. Aplicaciones lineales
  197. Concepto de aplicación lineal
  198. Núcleo e imagen de una aplicación lineal
  199. Teorema de las dimensiones para aplicaciones lineales
  200. Matriz de una aplicación lineal
  201. Expresión matricial de una aplicación lineal
  202. Núcleo e imagen del operador derivación
  203. Clasificación de aplicaciones lineales
  204. El espacio vectorial de las aplicaciones lineales
  205. Composición de aplicaciones lineales
  206. Descomposición canónica de una aplicación lineal, teorema de isomorfía
  207. Cambio de base en aplicaciones lineales, matrices equivalentes
  208. Cambio de base en endomorfismos, matrices semejantes
  209. Anillo de los endomorfismos y grupo lineal
  210. Espacio dual, base dual
  211. Cambio de base en el espacio dual
  212. Subespacio conjugado o anulador
  213. Aplicación transpuesta
  214. Matrices de aplicaciones lineales
  215. Un endomorfismo nilpotente
  216. Hiperplanos
  217. Endomorfismo y suma $S_4=1^4+…+n^4.$
  218. Sucesiones exactas
  219. Endomorfismo en un subespacio de C(R)
  220. Un operador traspuesto en el espacio dual
  221. Interpolación en el espacio dual
  222. Clasificación de una familia de endomorfismos
  223. Dos aplicaciones lineales
  224. Endomorfismo en $\mathbb{C}$ sobre $\mathbb{R}$
  225. Espacio vectorial de las matrices circulantes
  226. Valores y vectores propios
  227. Concepto de valor y vector propio
  228. Primeras propiedades de los valores y vectores propios
  229. Cálculo de valores y vectores propios. Polinomio característico
  230. Endomorfismos diagonalizables
  231. Potencia enésima de una matriz por diagonalización
  232. Teorema de Cayley-Hamilton
  233. Diagonalización según parámetros
  234. Suma y producto de valores propios
  235. Valores propios del endomorfismo inverso
  236. Diagonalización de un endomorfismo en $M_2(\mathbb{R})$
  237. Diagonalización de un endomorfismo en $\mathbb{R}_2[x]$
  238. Valores propios de una matriz nilpotente
  239. Logaritmo de una matriz
  240. Un determinante por recurrencia
  241. Diagonalización en un espacio complejo
  242. Límite de una sucesión matricial
  243. Modelo de poblaciones
  244. Endomorfismo con modelo matemático
  245. Endomorfismo idempotente
  246. Límite de sucesión de puntos diagonalizando en $\mathbb{C}.$
  247. Diagonalización de involuciones
  248. Valor propio y asíntota horizontal
  249. Coseno de una matriz
  250. Matrices componentes
  251. Secante de una matriz (vídeo)
  252. Espacio vectorial como suma directa de dos núcleos
  253. Valores propios y determinante de una matriz circulante
  254. Formas canónicas de Jordan
  255. Bloque de Jordan
  256. Polinomio mínimo
  257. Forma canónica de Jordan
  258. Cálculo de una base de Jordan
  259. Potencia enésima por forma de Jordan
  260. Formas de Jordan de $AB$ y $BA$
  261. Forma canónica del operador derivación
  262. Número e y exponencial de una matriz
  263. Formas de Jordan de rango 1
  264. Espacio de funciones y forma de Jordan
  265. Matrices con cuadrado nulo
  266. Diagonalización de $A\in\mathbb{R}^{2\times 2}$ con funciones hiperbólicas
  267. $A$ y $B$ matrices reales y semejantes como complejas, lo son como reales
  268. Formas bilineales y cuadráticas
  269. Concepto de forma bilineal
  270. Espacio vectorial de las formas bilineales
  271. Matriz de una forma bilineal
  272. Formas bilineales simétricas y antisimétricas
  273. Suma directa de las formas bilineales simétricas y antisimétricas
  274. Formas bilineales: cambio de base
  275. Diagonalización de formas bilineales simétricas
  276. Concepto de forma cuadrática
  277. Forma polar de una forma cuadrática
  278. Diagonalización de formas cuadráticas por transformaciones elementales
  279. Diagonalización de formas cuadráticas: método de Gauss
  280. Ley de inercia de Sylvester
  281. Clasificación de formas cuadráticas
  282. Forma cuadrática mediante una integral
  283. Mínimo de una función cuadrática
  284. Funciones convexas y formas cuadráticas
  285. Núcleo de una forma cuadrática
  286. Forma cuadrática multiplicativa
  287. Semejanza, congruencia y equivalencia de dos matrices
  288. Forma bilineal y sistema diferencial
  289. Cociente de Rayleigh
  290. Principio de Rayleigh (vìdeo)
  291. Forma bilineal a partir de una suma directa
  292. Concepto de producto tensorial
  293. Concepto de aplicación multilineal
  294. Espacio vectorial de las aplicaciones multilineales
  295. Problema de la aplicación universal
  296. Espacio vectorial producto
  297. Suma directa externa de espacios
  298. Producto tensorial
  299. Producto escalar
  300. Producto escalar real
  301. Espacio euclídeo, norma
  302. Desigualdad de Schwartz, ángulos
  303. Ortogonalidad en el espacio euclídeo
  304. Bases ortonormales, método de Schmidt
  305. Subespacio ortogonal
  306. Proyección ortogonal
  307. Mínima distancia de un vector a un subespacio
  308. Matrices ortogonales
  309. Operador traspuesto
  310. Operador ortogonal
  311. Operador simétrico, teorema espectral
  312. Giros alrededor de una recta
  313. Matriz adjunta
  314. Matrices hermíticas
  315. Concepto de forma sesquilineal
  316. Expresión matricial de una forma sesquilineal
  317. Concepto de forma hermítica o hermitiana
  318. Concepto de producto escalar complejo, espacio unitario
  319. Expresión matricial del producto escalar complejo
  320. Matrices unitarias
  321. Descomposición en valores singulares
  322. Matrices normales
  323. Matrices de proyección y simetría
  324. Lema de Schur
  325. Simetría de Householder
  326. Gram-Schmidt con integral impropia
  327. Proyección ortogonal en $\mathbb{R}_2[x]$
  328. Signatura de una forma cuadrática en un espacio euclídeo
  329. Un endomorfismo antisimétrico
  330. Un endomorfismo simétrico
  331. Automorfismo en un espacio euclídeo
  332. Endomorfismo, forma cuadrática y cono
  333. Subespacio ortogonal al de las matrices diagonales
  334. Diagonalización simultánea. Sistema diferencial de segundo orden
  335. $Q(A) = (\text{traza } A)^2 – 2 \det A$
  336. Una matriz normal
  337. Inversa de $A\in\mathbb{R}^{3\times 3}$ e interpretación geométrica
  338. Mínimo de $L(f)=\int_a^bf(x)\;dx\cdot\int_a^b \frac{dx}{f(x)}$ mediante la desigualdad de Schwarz
  339. Polinomios de Legendre y operador simétrico
  340. Un operador autoadjunto y unitario
  341. Operador de Sturm-Liouville
  342. Isometrías en $\mathbb{R}^n$
  343. Álgebra de los números complejos
  344. Cuerpo de los números complejos
  345. Operaciones con números complejos
  346. Raíz cuadrada de un número complejo
  347. Forma trigonométrica de los números complejos
  348. Números complejos: problemas diversos (1)
  349. Números complejos: problemas diversos (2)
  350. Afijos formando un triángulo rectángulo isósceles
  351. Isometrías en el plano
  352. Polinomios
  353. División euclídea de polinomios
  354. Factorización de polinomios
  355. Fórmulas de Cardano-Vieta
  356. Raíces en progresión
  357. Raíces múltiples de polinomios
  358. Raíz cuádruple según parámetros
  359. Polinomio de interpolación de Lagrange
  360. Ecuación de tercer grado
  361. Polinomios en una variable: problemas diversos
  362. Descomposición de un polinomio en suma de productos de raíces
  363. Seno de $72^{\text{o}}$
  364. Familia de polinomios $p(x^2)=p(x)p(x+1)$
  365. Cotas de las raíces de un polinomio
  366. Raíces de $f(x)=x^3+\beta x^2-\overline{\beta}x-1$
  367. Polinomio de $\mathbb{Z}[x]$ con raíz $\alpha=2+\sqrt[3]{3}$
  368. Lema de Gauss
  369. Criterio de Eisenstein
  370. Polinomio de Motzkin
  371. Factorización en $\mathbb{C} [x]$ de $p(x)=(x+1)^n+(x-1)^n$
  372. Condiciones suficientes para que un polinomio sea irreducible en $\mathbb{K}[x]$
  373. Cónicas
  374. Clasificación de cónicas
  375. Rectas que componen las cónicas degeneradas
  376. Ecuaciones reducidas de las cónicas
  377. Centro y ejes de las cónicas
  378. Giros y traslaciones en las cónicas
  379. Familia uniparamétrica de cónicas
  380. Circunferencia, cónica y forma cuadrática
  381. Ejes de una cónica por diagonalización simultanea
  382. Superficies
  383. Superficies regladas
  384. Superficies de revolución
  385. Superficie de revolución y cónica
  386. Superficies de traslación
  387. Una cuádrica como lugar geométrico
  388. Cuádrica, giro y traslación
  389. Una curva plana
  390. Superficies: problemas diversos
  391. Generatrices rectilíneas de un hiperboloide de una hoja
  392. Programación lineal
  393. Método del simplex
  394. Máximo de una integral por el método del simplex.
  395. Método del simplex. Aplicación
  396. Método del simplex: aprovechamiento de un monte