Álgebra

Proporcionamos una colección de problemas resueltos de Álgebra. Se irán añadiendo otros sucesivamente.

    Conjuntos
  1. Concepto de conjunto
  2. Inclusión de conjuntos. Conjunto vacío
  3. Unión e intersección de conjuntos
  4. Propiedades de la unión e intersección
  5. Cardinal de la unión de tres conjuntos
  6. Partes de un conjunto, complementario y diferencia
  7. Relaciones de inclusión y pertenencia
  8. Propiedades del complementario
  9. Simplificaciones en las partes de un conjunto
  10. Diagramas de Venn
  11. Producto cartesiano
  12. Partes del producto y producto de las partes
  13. Unión e intersección generalizadas
  14. Función característica
  15. Diferencia simétrica: propiedad asociativa
  16. Partes de uniones e intersecciones
  17. Cardinales de las sigma-álgebras contables
  18. Límite de una sucesión de conjuntos
  19. Cardinal de la unión de $n$ conjuntos
  20. Mínima $\sigma-$álgebra que contiene a otra y a un conjunto
  21. Relaciones
  22. Concepto de relación binaria
  23. Relación de equivalencia, conjunto cociente
  24. Partición de un conjunto
  25. Concepto de relación de orden
  26. Máximo, mínimo, cotas
  27. Supremo, ínfimo, maximales y minimales
  28. Orden total, buen orden
  29. Diagramas de Hasse
  30. Relación de equivalencia en $\mathbb{R}[x]$
  31. Tres relaciones en $\mathbb{N}$
  32. Finura de las relaciones de orden
  33. Orden lexicográfico
  34. Teorema de la buena ordenación de Zermelo
  35. Funciones
  36. Concepto de función
  37. Composición de funciones
  38. Aplicaciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas
  39. Aplicación identidad, aplicación inversa
  40. Imágenes directas e inversas de conjuntos
  41. Biyección entre $(-1,1)$ y $\mathbb{R}$
  42. Aplicación involutiva
  43. Factorización canónica de una aplicación
  44. Factorización canónica de la función seno
  45. Estudio de la biyectividad de $f(X)=(A\cap X,B\cap X)$
  46. Cardinales infinitos no regulares
  47. Grupos
  48. Concepto de grupo
  49. Primeras propiedades de los grupos
  50. Subgrupos
  51. Tabla de Cayley
  52. Generadores de un grupo, grupo cíclico
  53. Subgrupos normales
  54. Subgrupo normal y centro
  55. Grupo cociente
  56. Grupo de clases residuales
  57. Homomorfismos de grupos
  58. Núcleo e imagen de un homomorfismo de grupos
  59. Clasificación de homomorfismos de grupos
  60. Descomposición canónica de un homomorfismo de grupos
  61. Grupo de las partes con la diferencia simétrica
  62. Tres igualdades en un grupo.
  63. Grupo no cíclico
  64. Grupo de funciones matriciales
  65. Conjunto, grupo y aplicación
  66. Relación y operaciones en el plano
  67. Grupo de aplicaciones afines.
  68. Centro de un grupo de matrices
  69. Grupo construido por biyección
  70. Conmutador y subgrupo derivado
  71. Todo grupo de orden 4 es abeliano
  72. Grupo de Klein y sus automorfismos
  73. Los grupos $\mathbb{R}^\times$ y $\mathbb{C}^\times$ no son isomorfos
  74. Todo grupo de orden primo es cíclico
  75. Grupos de orden 4
  76. Grupos de orden 6
  77. Grupo en $(-1,1)$
  78. Estructura de grupo en todo conjunto no vacío
  79. Producto directo externo de grupos
  80. Anillos y cuerpos
  81. Concepto de anillo
  82. Anillo de sucesiones
  83. Producto directo de anillos
  84. Anillos: notaciones y propiedades
  85. Grupo multiplicativo de las unidades
  86. Anillo de los enteros de Gauss
  87. Anillo de clases residuales
  88. Anillos de integridad
  89. Subanillos
  90. Homomorfismos de anillos
  91. Ideales de un anillo
  92. Ideal de las sucesiones nulas
  93. Ideal bilátero f (I).
  94. Anillo cociente
  95. Descomposición canónica de un homomorfismo de anillos
  96. Homomorfismo de anillos que no conserva el elemento unidad
  97. Concepto de cuerpo
  98. Cuerpos $\mathbb{Z}_p$
  99. Característica de un cuerpo
  100. Homomorfismos entre cuerpos
  101. Anillo según parámetro
  102. Anillo y grupo de matrices
  103. Máximo común divisor en los enteros de Gauss
  104. Dominio de integridad no euclídeo
  105. Una unidad en el anillo cociente $\mathbb{Q}[X] / I$
  106. Binomio de Newton en un anillo
  107. Anillo de las funciones reales
  108. Anillo idempotente
  109. Intersección de subcuerpos
  110. Cuerpo infinito con característica finita
  111. Cuerpo conmutativo con función sobre $\mathbb{R}^+$
  112. Cuaternios de Hamilton
  113. Cuerpo con 25 elementos (vídeo)
  114. Los grupos aditivo y multiplicativo de un cuerpo no son isomorfos
  115. Ideal maximal en el anillo de las funciones de clase infinito
  116. Semianillo tropical
  117. Unidades en el anillo de las series formales $A[[X]]$
  118. Caracterización de anillos noetherianos
  119. El anillo de las funciones continuas no es noetheriano
  120. Ideal generado por un subconjunto de un anillo
  121. $R$ dominio de integridad y no cuerpo, implica $R[x]$ no es dominio de ideales principales
  122. Cardinal de un cuerpo finito
  123. Cuerpo $\mathbb{Q}(\sqrt{5},i)$
  124. Los complejos no pueden ser un cuerpo ordenado
  125. $\langle 2, x \rangle$ no es ideal principal en $\mathbb{Z}[x]$
  126. Caracterizaciones de cuerpos
  127. Inverso de un elemento en $\mathbb{Q}/\langle x^2+x+1 \rangle $
  128. Cuerpo primo
  129. Un cuerpo de matrices isomorfo al de los complejos
  130. Anillos $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$
  131. Ideales biláteros en el anillo de matrices
  132. Homomorfismo de anillos que no conserva el elemento unidad
  133. Teorema de Wedderburn
  134. Existencia de ideales maximales
  135. Cuerpo de fracciones de un dominio de integridad
  136. Conmutatividad de la suma en los anillos
  137. Sistemas lineales
  138. Sistemas lineales escalonados
  139. Reducción gaussiana
  140. Sistemas lineales según parámetros
  141. Sistemas lineales, método de Gauss: problemas diversos
  142. Matrices
  143. Concepto de matriz, suma de matrices
  144. Grupo aditivo de las matrices sobre un cuerpo
  145. Producto de un escalar por una matriz
  146. Multiplicación de matrices
  147. Inversa de una matriz
  148. Inversa de orden n por el método de Gauss
  149. Inversa de orden n por sistema de columnas
  150. Ecuaciones y sistemas matriciales
  151. Transposición de matrices
  152. Descomposición $A=uv^t$
  153. Matriz nilpotente e inversa
  154. Potencia enésima de matrices por binomio de Newton
  155. Traza de una matriz, propiedades
  156. Matrices mágicas
  157. Matriz de Markov
  158. Inversa generalizada
  159. Matrices cuadradas invertibles con coeficientes enteros
  160. Determinantes
  161. Determinantes sencillos
  162. Determinantes por triangularización
  163. Determinantes por inducción
  164. Determinante de Vandermonde
  165. Regla de Cramer
  166. Ceros por encima o debajo de la diagonal secundaria
  167. Determinante y sucesión de Fibonacci
  168. Determinante con números combinatorios
  169. Producto de enteros que son suma de cuatro cuadrados de enteros
  170. Determinante e inversa de orden n
  171. Determinante de $I + v w$
  172. Determinante por inducción y sistema lineal
  173. Derivada de un determinante
  174. Igualdad de matrices a partir de una de determinantes
  175. Espacios vectoriales
  176. Primeras propiedades de los espacios vectoriales
  177. Espacio vectorial $\mathbb{K}^n$
  178. Espacio vectorial de las matrices sobre un cuerpo
  179. Espacio vectorial $\mathbb{K}[x]$
  180. Espacio vectorial de las funciones reales
  181. Subcuerpo como espacio vectorial
  182. Subespacios vectoriales, caracterización
  183. Suma e intersección de subespacios
  184. Suma directa de subespacios
  185. Combinación lineal de vectores
  186. Dependencia e independencia lineal de vectores
  187. Base de un espacio vectorial
  188. Subespacio de las matrices diagonales, dimensión y base
  189. Subespacio de las matrices escalares, dimensión y base
  190. Subespacio de las matrices simétricas, dimensión y base
  191. Subespacio de las matrices antisimétricas, dimensión y base
  192. Subespacios de matrices triangulares, dimensión y base
  193. Rango de una matriz. Dependencia lineal en $\mathbb {K}^n$
  194. Acotación del rango del producto de dos matrices
  195. Teorema de la base incompleta
  196. Existencia de base en todo espacio vectorial
  197. Dimensión de un espacio vectorial
  198. Teorema de la torre
  199. Propiedades de la dimensión
  200. Teorema de la dimensión para espacios vectoriales
  201. Teorema de Grassmann
  202. Coordenadas
  203. Cambio de base
  204. Ecuaciones de los subespacios
  205. Bases de la suma e intersección de subespacios
  206. Espacio vectorial cociente
  207. Cambio de base en orbitales atómicos
  208. Intersección de subespacios de $(\mathbb{Z}_7)^4$
  209. Espacio vectorial de las funciones definidas en un conjunto
  210. Realificación de un espacio vectorial complejo
  211. Subespacios transversales
  212. Wronskiano
  213. Un espacio vectorial no usual
  214. Cardinal de un espacio vectorial finito
  215. Sistema libre de infinitas funciones troceadas
  216. Aplicaciones lineales
  217. Concepto de aplicación lineal
  218. Núcleo e imagen de una aplicación lineal
  219. Teorema de las dimensiones para aplicaciones lineales
  220. Matriz de una aplicación lineal
  221. Expresión matricial de una aplicación lineal
  222. Núcleo e imagen del operador derivación
  223. Clasificación de aplicaciones lineales
  224. El espacio vectorial de las aplicaciones lineales
  225. Composición de aplicaciones lineales
  226. Descomposición canónica de una aplicación lineal, teorema de isomorfía
  227. Cambio de base en aplicaciones lineales, matrices equivalentes
  228. Cambio de base en endomorfismos, matrices semejantes
  229. Anillo de los endomorfismos y grupo lineal
  230. Espacio dual, base dual
  231. Cambio de base en el espacio dual
  232. Subespacio conjugado o anulador
  233. Aplicación transpuesta
  234. Matrices de aplicaciones lineales
  235. Un endomorfismo nilpotente
  236. Hiperplanos
  237. Endomorfismo y suma $S_4=1^4+…+n^4.$
  238. Sucesiones exactas
  239. Endomorfismo en un subespacio de C(R)
  240. Un operador traspuesto en el espacio dual
  241. Interpolación en el espacio dual
  242. Clasificación de una familia de endomorfismos
  243. Dos aplicaciones lineales
  244. Endomorfismo en $\mathbb{C}$ sobre $\mathbb{R}$
  245. Espacio vectorial de las matrices circulantes
  246. Aplicación lineal $T(X)=AX-XA^{-1}$
  247. Matriz del cuadrado de un endomorfismo
  248. Anuladores de núcleo e imagen y aplicación transpuesta
  249. Valores y vectores propios
  250. Concepto de valor y vector propio
  251. Primeras propiedades de los valores y vectores propios
  252. Cálculo de valores y vectores propios. Polinomio característico
  253. Endomorfismos diagonalizables
  254. Potencia enésima de una matriz por diagonalización
  255. Teorema de Cayley-Hamilton
  256. Diagonalización según parámetros
  257. Suma y producto de valores propios
  258. Valores propios del endomorfismo inverso
  259. Diagonalización de un endomorfismo en $M_2(\mathbb{R})$
  260. Diagonalización de un endomorfismo en $\mathbb{R}_2[x]$
  261. Valores propios de una matriz nilpotente
  262. Logaritmo de una matriz
  263. Un determinante por recurrencia
  264. Diagonalización en un espacio complejo
  265. Límite de una sucesión matricial
  266. Modelo de poblaciones
  267. Endomorfismo con modelo matemático
  268. Endomorfismo idempotente
  269. Límite de sucesión de puntos diagonalizando en $\mathbb{C}.$
  270. Diagonalización de involuciones
  271. Valor propio y asíntota horizontal
  272. Coseno de una matriz
  273. Matrices componentes
  274. Secante de una matriz (vídeo)
  275. Espacio vectorial como suma directa de dos núcleos
  276. Valores propios y determinante de una matriz circulante
  277. Matrices idempotentes de orden 2 sobre un cuerpo
  278. Límite de una sucesión por potencia enésima de una matriz
  279. Formas canónicas de Jordan
  280. Subespacios invariantes
  281. Bloque de Jordan
  282. Polinomio mínimo
  283. Forma canónica de Jordan
  284. Cálculo de una base de Jordan
  285. Potencia enésima por forma de Jordan
  286. Formas de Jordan de $AB$ y $BA$
  287. Forma canónica del operador derivación
  288. Número e y exponencial de una matriz
  289. Formas de Jordan de rango 1
  290. Espacio de funciones y forma de Jordan
  291. Matrices con cuadrado nulo
  292. Diagonalización de $A\in\mathbb{R}^{2\times 2}$ con funciones hiperbólicas
  293. $A$ y $B$ matrices reales y semejantes como complejas, lo son como reales
  294. Forma de Jordan en $\mathbb{Z}_7$
  295. Formas bilineales y cuadráticas
  296. Concepto de forma bilineal
  297. Espacio vectorial de las formas bilineales
  298. Matriz de una forma bilineal
  299. Formas bilineales simétricas y antisimétricas
  300. Suma directa de las formas bilineales simétricas y antisimétricas
  301. Formas bilineales: cambio de base
  302. Diagonalización de formas bilineales simétricas
  303. Concepto de forma cuadrática
  304. Forma polar de una forma cuadrática
  305. Diagonalización de formas cuadráticas por transformaciones elementales
  306. Diagonalización de formas cuadráticas: método de Gauss
  307. Ley de inercia de Sylvester
  308. Clasificación de formas cuadráticas
  309. Forma cuadrática mediante una integral
  310. Mínimo de una función cuadrática
  311. Funciones convexas y formas cuadráticas
  312. Núcleo de una forma cuadrática
  313. Forma cuadrática multiplicativa
  314. Semejanza, congruencia y equivalencia de dos matrices
  315. Forma bilineal y sistema diferencial
  316. Cociente de Rayleigh
  317. Principio de Rayleigh (vìdeo)
  318. Forma bilineal a partir de una suma directa
  319. Diagonalización simultanea de formas cuadráticas
  320. Concepto de producto tensorial
  321. Concepto de aplicación multilineal
  322. Espacio vectorial de las aplicaciones multilineales
  323. Problema de la aplicación universal
  324. Espacio vectorial producto
  325. Suma directa externa de espacios
  326. Producto tensorial
  327. Producto escalar
  328. Producto escalar real
  329. Espacio euclídeo, norma
  330. Desigualdad de Schwartz, ángulos
  331. Ángulo en un espacio de polinomios
  332. Ortogonalidad en el espacio euclídeo
  333. Bases ortonormales, método de Schmidt
  334. Subespacio ortogonal
  335. Proyección ortogonal
  336. Mínima distancia de un vector a un subespacio
  337. Matrices ortogonales
  338. Operador traspuesto
  339. Operador ortogonal
  340. Operador simétrico, teorema espectral
  341. Giros alrededor de una recta
  342. Matriz adjunta
  343. Matrices hermíticas
  344. Concepto de forma sesquilineal
  345. Expresión matricial de una forma sesquilineal
  346. Concepto de forma hermítica o hermitiana
  347. Concepto de producto escalar complejo, espacio unitario
  348. Expresión matricial del producto escalar complejo
  349. Matrices unitarias
  350. Descomposición en valores singulares
  351. Matrices normales
  352. Endomorfismo complejo con matriz normal
  353. Matrices de proyección y simetría
  354. Lema de Schur
  355. Simetría de Householder
  356. Gram-Schmidt con integral impropia
  357. Proyección ortogonal en $\mathbb{R}_2[x]$
  358. Signatura de una forma cuadrática en un espacio euclídeo
  359. Un endomorfismo antisimétrico
  360. Un endomorfismo simétrico
  361. Automorfismo en un espacio euclídeo
  362. Endomorfismo, forma cuadrática y cono
  363. Subespacio ortogonal al de las matrices diagonales
  364. Diagonalización simultánea. Sistema diferencial de segundo orden
  365. $Q(A) = (\text{traza } A)^2 – 2 \det A$
  366. Una matriz normal
  367. Inversa de $A\in\mathbb{R}^{3\times 3}$ e interpretación geométrica
  368. Mínimo de $L(f)=\int_a^bf(x)\;dx\cdot\int_a^b \frac{dx}{f(x)}$ mediante la desigualdad de Schwarz
  369. Polinomios de Legendre y operador simétrico
  370. Un operador autoadjunto y unitario
  371. Operador de Sturm-Liouville
  372. Isometrías en $\mathbb{R}^n$
  373. Desigualdad de Hadamard
  374. Álgebra de los números complejos
  375. Cuerpo de los números complejos
  376. Operaciones con números complejos
  377. Raíz cuadrada de un número complejo
  378. Forma trigonométrica de los números complejos
  379. Números complejos: problemas diversos (1)
  380. Números complejos: problemas diversos (2)
  381. Afijos formando un triángulo rectángulo isósceles
  382. Vértices de un triángulo equilátero
  383. Isometrías en el plano
  384. Concepto de isometría en el plano
  385. Determinación de las isometrías del plano
  386. Grupo de las isometrías del plano
  387. Clasificación de las isometrías del plano
  388. Expresión matricial de las isometrías del plano
  389. Ejercicios de isometrías en el plano
  390. Polinomios
  391. División euclídea de polinomios
  392. Factorización de polinomios
  393. Fórmulas de Cardano-Vieta
  394. Raíces en progresión
  395. Raíces múltiples de polinomios
  396. Raíz cuádruple según parámetros
  397. Polinomio de interpolación de Lagrange
  398. Ecuación de tercer grado
  399. Ecuación $x^3-x+2=0$ en los complejos
  400. Ecuación de cuarto grado
  401. Polinomios en una variable: problemas diversos
  402. Descomposición de un polinomio en suma de productos de raíces
  403. Seno de $72^{\text{o}}$
  404. Familia de polinomios $p(x^2)=p(x)p(x+1)$
  405. Cotas de las raíces de un polinomio
  406. Raíces de $f(x)=x^3+\beta x^2-\overline{\beta}x-1$
  407. Polinomio de $\mathbb{Z}[x]$ con raíz $\alpha=2+\sqrt[3]{3}$
  408. Lema de Gauss
  409. Criterio de Eisenstein
  410. Polinomio de Motzkin
  411. Factorización en $\mathbb{C} [x]$ de $p(x)=(x+1)^n+(x-1)^n$
  412. Condiciones suficientes para que un polinomio sea irreducible en $\mathbb{K}[x]$
  413. Polinomio que genera primos
  414. Cónicas
  415. Clasificación de cónicas
  416. Rectas que componen las cónicas degeneradas
  417. Ecuaciones reducidas de las cónicas
  418. Centro y ejes de las cónicas
  419. Giros y traslaciones en las cónicas
  420. Familia uniparamétrica de cónicas
  421. Circunferencia, cónica y forma cuadrática
  422. Ejes de una cónica por diagonalización simultanea
  423. Elipse como lugar geométrico
  424. Dibujo de una conica mediante el teorema espectral
  425. Superficies
  426. Superficies regladas
  427. Superficies de revolución
  428. Superficie de revolución y cónica
  429. Superficies de traslación
  430. Una cuádrica como lugar geométrico
  431. Cuádrica, giro y traslación
  432. Una curva plana
  433. Superficies: problemas diversos
  434. Generatrices rectilíneas de un hiperboloide de una hoja
  435. Programación lineal
  436. Método del simplex
  437. Máximo de una integral por el método del simplex.
  438. Método del simplex. Aplicación
  439. Método del simplex: aprovechamiento de un monte