Álgebra

Proporcionamos una colección de problemas resueltos de Álgebra. Se irán añadiendo otros sucesivamente.

    Conjuntos
  1. Concepto de conjunto
  2. Inclusión de conjuntos. Conjunto vacío
  3. Relaciones de inclusión y pertenencia
  4. Unión e intersección de conjuntos
  5. Propiedades de la unión e intersección
  6. Cardinal de la unión de tres conjuntos
  7. Partes de un conjunto, complementario y diferencia
  8. Propiedades del complementario
  9. Simplificaciones en las partes de un conjunto
  10. Diagramas de Venn
  11. Producto cartesiano
  12. Unión e intersección generalizadas
  13. Función característica
  14. Diferencia simétrica: propiedad asociativa
  15. Partes de uniones e intersecciones
  16. Cardinales de las sigma-álgebras contables
  17. Relaciones
  18. Concepto de relación binaria
  19. Relación de equivalencia, conjunto cociente
  20. Partición de un conjunto
  21. Concepto de relación de orden
  22. Máximo, mínimo, cotas
  23. Supremo, ínfimo, maximales y minimales
  24. Orden total, buen orden
  25. Diagramas de Hasse
  26. Relación de equivalencia en R[x]
  27. Tres relaciones en IN
  28. Finura de las relaciones de orden
  29. Funciones
  30. Concepto de función
  31. Composición de funciones
  32. Aplicaciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas
  33. Aplicación identidad, aplicación inversa
  34. Imágenes directas e inversas de conjuntos
  35. Biyección entre (-1,1) y IR
  36. Aplicación involutiva
  37. Factorización canónica de la función seno
  38. Estudio de la biyectividad de $f(X)=(A\cap X,B\cap X)$
  39. Cardinales infinitos no regulares
  40. Grupos
  41. Concepto de grupo
  42. Primeras propiedades de los grupos
  43. Subgrupos
  44. Tabla de Cayley
  45. Generadores de un grupo, grupo cíclico
  46. Subgrupos normales
  47. Subgrupo normal y centro
  48. Grupo cociente
  49. Grupo de clases residuales
  50. Homomorfismos de grupos
  51. Núcleo e imagen de un homomorfismo de grupos
  52. Clasificación de homomorfismos de grupos
  53. Descomposición canónica de un homomorfismo de grupos
  54. Grupo de las partes con la diferencia simétrica
  55. Tres igualdades en un grupo.
  56. Grupo no cíclico
  57. Grupo de funciones matriciales
  58. Conjunto, grupo y aplicación
  59. Relación y operaciones en el plano
  60. Grupo de aplicaciones afines.
  61. Centro de un grupo de matrices
  62. Grupo construido por biyección
  63. Conmutador y subgrupo derivado
  64. Todo grupo de orden 4 es abeliano
  65. Grupo de Klein y sus automorfismos
  66. Anillos y cuerpos
  67. Concepto de anillo
  68. Anillo de sucesiones
  69. Producto directo de anillos
  70. Anillos: notaciones y propiedades
  71. Grupo multiplicativo de las unidades
  72. Anillo de los enteros de Gauss
  73. Anillo de clases residuales
  74. Anillos de integridad
  75. Subanillos
  76. Homomorfismos de anillos
  77. Ideales de un anillo
  78. Ideal de las sucesiones acotadas
  79. Ideal bilátero f (I).
  80. Anillo cociente
  81. Descomposición canónica de un homomorfismo de anillos
  82. Concepto de cuerpo
  83. Cuerpos Z_p
  84. Característica de un cuerpo
  85. Homomorfismos entre cuerpos
  86. Anillo según parámetro
  87. Anillo y grupo de matrices
  88. Máximo común divisor en los enteros de Gauss
  89. Dominio de integridad no euclídeo
  90. Una unidad en el anillo cociente Q[X] / I
  91. Binomio de Newton en un anillo
  92. Anillo de las funciones reales
  93. Anillo idempotente
  94. Intersección de subcuerpos
  95. Cuerpo infinito con característica finita
  96. Cuerpo conmutativo con función sobre $\mathbb{R}^+$
  97. Cuaternios de Hamilton
  98. Cuerpo con 25 elementos (vídeo)
  99. Los grupos aditivo y multiplicativo de un cuerpo no son isomorfos
  100. Ideal maximal en el anillo de las funciones de clase infinito
  101. Semianillo tropical
  102. Unidades en el anillo de las series formales $A[[X]]$
  103. Caracterización de anillos noetherianos
  104. El anillo de las funciones continuas no es noetheriano
  105. Ideal generado por un subconjunto de un anillo
  106. $R$ dominio de integridad y no cuerpo, implica $R[x]$ no es dominio de ideales principales
  107. Cardinal de un cuerpo finito
  108. Cuerpo $\mathbb{Q}(\sqrt{5},i)$
  109. Los complejos no pueden ser un cuerpo ordenado
  110. $\langle 2, x \rangle$ no es ideal principal en $\mathbb{Z}[x]$
  111. Sistemas lineales
  112. Sistemas lineales escalonados
  113. Reducción gaussiana
  114. Sistemas lineales según parámetros
  115. Sistemas lineales, método de Gauss: problemas diversos
  116. Matrices
  117. Concepto de matriz, suma de matrices
  118. Grupo aditivo de las matrices sobre un cuerpo
  119. Producto de un escalar por una matriz
  120. Multiplicación de matrices
  121. Inversa de una matriz
  122. Inversa de orden n por el mátodo de Gauss
  123. Inversa de orden n por sistema de columnas
  124. Ecuaciones y sistemas matriciales
  125. Transposición de matrices
  126. Descomposición A=uv^t
  127. Matriz nilpotente e inversa
  128. Potencia enésima de matrices por binomio de Newton
  129. Traza de una matriz, propiedades
  130. Matrices mágicas
  131. Matriz de Markov
  132. Inversa generalizada
  133. Matrices cuadradas invertibles con coeficientes enteros
  134. Determinantes
  135. Determinantes sencillos
  136. Determinantes por triangularización
  137. Determinantes por inducción
  138. Determinante de Vandermonde
  139. Regla de Cramer
  140. Ceros por encima o debajo de la diagonal secundaria
  141. Determinante y sucesión de Fibonacci
  142. Determinante con números combinatorios
  143. Producto de enteros que son suma de cuatro cuadrados de enteros
  144. Determinante e inversa de orden n
  145. Determinante de I + v w
  146. Determinante por inducción y sistema lineal
  147. Derivada de un determinante
  148. Espacios vectoriales
  149. Primeras propiedades de los espacios vectoriales
  150. Espacio vectorial $\mathbb{K}^n$
  151. Espacio vectorial de las matrices sobre un cuerpo
  152. Espacio vectorial K[x]
  153. Espacio vectorial de las funciones reales
  154. Subcuerpo como espacio vectorial
  155. Subespacios vectoriales, caracterización
  156. Suma e intersección de subespacios
  157. Suma directa de subespacios
  158. Combinación lineal de vectores
  159. Dependencia e independencia lineal de vectores
  160. Base de un espacio vectorial
  161. Subespacio de las matrices diagonales, dimensión y base
  162. Subespacio de las matrices escalares, dimensión y base
  163. Subespacio de las matrices simétricas, dimensión y base
  164. Subespacio de las matrices antisimétricas, dimensión y base
  165. Subespacios de matrices triangulares, dimensión y base
  166. Rango de una matriz. Dependencia lineal en K^n
  167. Acotación del rango del producto de dos matrices
  168. Teorema de la base incompleta
  169. Existencia de base en todo espacio vectorial
  170. Dimensión de un espacio vectorial
  171. Teorema de la torre
  172. Propiedades de la dimensión
  173. Teorema de la dimensión para espacios vectoriales
  174. Teorema de Grassmann
  175. Coordenadas
  176. Cambio de base
  177. Ecuaciones de los subespacios
  178. Bases de la suma e intersección de subespacios
  179. Espacio vectorial cociente
  180. Cambio de base en orbitales atómicos
  181. Intersección de subespacios de (Z_7)^4
  182. Espacio vectorial de las funciones definidas en un conjunto
  183. Realificación de un espacio vectorial complejo
  184. Subespacios transversales
  185. Wronskiano
  186. Aplicaciones lineales
  187. Concepto de aplicación lineal
  188. Núcleo e imagen de una aplicación lineal
  189. Teorema de las dimensiones para aplicaciones lineales
  190. Matriz de una aplicación lineal
  191. Expresión matricial de una aplicación lineal
  192. Núcleo e imagen del operador derivación
  193. Clasificación de aplicaciones lineales
  194. El espacio vectorial de las aplicaciones lineales
  195. Composición de aplicaciones lineales
  196. Descomposición canónica de una aplicación lineal, teorema de isomorfía
  197. Cambio de base en aplicaciones lineales, matrices equivalentes
  198. Cambio de base en endomorfismos, matrices semejantes
  199. Anillo de los endomorfismos y grupo lineal
  200. Espacio dual, base dual
  201. Cambio de base en el espacio dual
  202. Subespacio conjugado o anulador
  203. Aplicación transpuesta
  204. Matrices de aplicaciones lineales
  205. Un endomorfismo nilpotente
  206. Hiperplanos
  207. Endomorfismo y suma $S_4=1^4+…+n^4.$
  208. Sucesiones exactas
  209. Endomorfismo en un subespacio de C(R)
  210. Un operador traspuesto en el espacio dual
  211. Interpolación en el espacio dual
  212. Clasificación de una familia de endomorfismos
  213. Dos aplicaciones lineales
  214. Endomorfismo en C sobre R
  215. Valores y vectores propios
  216. Concepto de valor y vector propio
  217. Primeras propiedades de los valores y vectores propios
  218. Cálculo de valores y vectores propios. Polinomio característico
  219. Endomorfismos diagonalizables
  220. Potencia enésima de una matriz por diagonalización
  221. Teorema de Cayley-Hamilton
  222. Diagonalización según parámetros
  223. Suma y producto de valores propios
  224. Valores propios del endomorfismo inverso
  225. Diagonalización de un endomorfismo en M_2(R)
  226. Diagonalización de un endomorfismo en R_2[x]
  227. Valores propios de una matriz nilpotente
  228. Logaritmo de una matriz
  229. Un determinante por recurrencia
  230. Diagonalización en un espacio complejo
  231. Límite de una sucesión matricial
  232. Modelo de poblaciones
  233. Endomorfismo con modelo matemático
  234. Endomorfismo idempotente
  235. Límite de sucesión de puntos diagonalizando en $\mathbb{C}.$
  236. Diagonalización de involuciones
  237. Valor propio y asíntota horizontal
  238. Coseno de una matriz
  239. Matrices componentes
  240. Secante de una matriz (vídeo)
  241. Espacio vectorial como suma directa de dos núcleos
  242. Formas canónicas de Jordan
  243. Bloque de Jordan
  244. Polinomio mínimo
  245. Forma canónica de Jordan
  246. Cálculo de una base de Jordan
  247. Potencia enésima por forma de Jordan
  248. Formas de Jordan de $AB$ y $BA$
  249. Forma canónica del operador derivación
  250. Número e y exponencial de una matriz
  251. Formas de Jordan de rango 1
  252. Espacio de funciones y forma de Jordan
  253. Matrices con cuadrado nulo
  254. Diagonalización de $A\in\mathbb{R}^{2\times 2}$ con funciones hiperbólicas
  255. $A$ y $B$ matrices reales y semejantes como complejas, lo son como reales
  256. Formas bilineales y cuadráticas
  257. Concepto de forma bilineal
  258. Espacio vectorial de las formas bilineales
  259. Matriz de una forma bilineal
  260. Formas bilineales simétricas y antisimétricas
  261. Suma directa de las formas bilineales simétricas y antisimétricas
  262. Formas bilineales: cambio de base
  263. Diagonalización de formas bilineales simétricas
  264. Concepto de forma cuadrática
  265. Forma polar de una forma cuadrática
  266. Diagonalización de formas cuadráticas por transformaciones elementales
  267. Diagonalización de formas cuadráticas: método de Gauss
  268. Ley de inercia de Sylvester
  269. Clasificación de formas cuadráticas
  270. Forma cuadrática mediante una integral
  271. Mínimo de una función cuadrática
  272. Funciones convexas y formas cuadráticas
  273. Núcleo de una forma cuadrática
  274. Forma cuadrática multiplicativa
  275. Semejanza, congruencia y equivalencia de dos matrices
  276. Forma bilineal y sistema diferencial
  277. Cociente de Rayleigh
  278. Principio de Rayleigh (vìdeo)
  279. Forma bilineal a partir de una suma directa
  280. Producto escalar
  281. Producto escalar real
  282. Espacio euclídeo, norma
  283. Desigualdad de Schwartz, ángulos
  284. Ortogonalidad en el espacio euclídeo
  285. Bases ortonormales, método de Schmidt
  286. Subespacio ortogonal
  287. Proyección ortogonal
  288. Mínima distancia de un vector a un subespacio
  289. Matrices ortogonales
  290. Operador traspuesto
  291. Operador ortogonal
  292. Operador simétrico, teorema espectral
  293. Giros alrededor de una recta
  294. Matriz adjunta
  295. Matrices hermíticas
  296. Concepto de forma sesquilineal
  297. Expresión matricial de una forma sesquilineal
  298. Concepto de forma hermítica o hermitiana
  299. Concepto de producto escalar complejo, espacio unitario
  300. Expresión matricial del producto escalar complejo
  301. Matrices unitarias
  302. Descomposición en valores singulares
  303. Matrices normales
  304. Matrices de proyección y simetría
  305. Lema de Schur
  306. Simetría de Householder
  307. Gram-Schmidt con integral impropia
  308. Proyección ortogonal en $\mathbb{R}_2[x]$
  309. Signatura de una forma cuadrática en un espacio euclídeo
  310. Un endomorfismo antisimétrico
  311. Un endomorfismo simétrico
  312. Automorfismo en un espacio euclídeo
  313. Endomorfismo, forma cuadrática y cono
  314. Subespacio ortogonal al de las matrices diagonales
  315. Diagonalización simultánea. Sistema diferencial de segundo orden
  316. Q(A) = (traza A)^2 – 2 det A
  317. Una matriz normal
  318. Inversa de $A\in\mathbb{R}^{3\times 3}$ e interpretación geométrica
  319. Mínimo de $L(f)=\int_a^bf(x)\;dx\cdot\int_a^b \frac{dx}{f(x)}$ mediante la desigualdad de Schwarz
  320. Polinomios de Legendre y operador simétrico
  321. Un operador autoadjunto y unitario
  322. Álgebra de los números complejos
  323. Cuerpo de los números complejos
  324. Operaciones con números complejos
  325. Raíz cuadrada de un número complejo
  326. Forma trigonométrica de los números complejos
  327. Números complejos: problemas diversos (1)
  328. Números complejos: problemas diversos (2)
  329. Afijos formando un triángulo rectángulo isósceles
  330. Polinomios
  331. División euclídea de polinomios
  332. Factorización de polinomios
  333. Fórmulas de Cardano-Vieta
  334. Raíces en progresión
  335. Raíces múltiples de polinomios
  336. Raíz cuádruple según parámetros
  337. Polinomio de interpolación de Lagrange
  338. Ecuación de tercer grado
  339. Polinomios en una variable: problemas diversos
  340. Descomposición de un polinomio en suma de productos de raíces
  341. Seno de $72^{\text{o}}$
  342. Familia de polinomios $p(x^2)=p(x)p(x+1)$
  343. Cotas de las raíces de un polinomio
  344. Raíces de $f(x)=x^3+\beta x^2-\overline{\beta}x-1$
  345. Polinomio de $\mathbb{Z}[x]$ con raíz $\alpha=2+\sqrt[3]{3}$
  346. Lema de Gauss
  347. Criterio de Eisenstein
  348. Polinomio de Motzkin
  349. Factorización en $\mathbb{C} [x]$ de $p(x)=(x+1)^n+(x-1)^n$
  350. Cónicas
  351. Clasificación de cónicas
  352. Rectas que componen las cónicas degeneradas
  353. Ecuaciones reducidas de las cónicas
  354. Centro y ejes de las cónicas
  355. Giros y traslaciones en las cónicas
  356. Familia uniparamétrica de cónicas
  357. Circunferencia, cónica y forma cuadrática
  358. Ejes de una cónica por diagonalización simultanea
  359. Superficies
  360. Superficies regladas
  361. Superficies de revolución
  362. Superficie de revolución y cónica
  363. Superficies de traslación
  364. Una cuádrica como lugar geométrico
  365. Cuádrica, giro y traslación
  366. Una curva plana
  367. Superficies: problemas diversos
  368. Generatrices rectilíneas de un hiperboloide de una hoja
  369. Programación lineal
  370. Método del simplex
  371. Máximo de una integral por el método del simplex.
  372. Método del simplex. Aplicación
  373. Método del simplex: aprovechamiento de un monte