Álgebra

Proporcionamos una colección de problemas resueltos de Álgebra. Se irán añadiendo otros sucesivamente.

    Conjuntos
  1. Concepto de conjunto
  2. Inclusión de conjuntos. Conjunto vacío
  3. Unión e intersección de conjuntos
  4. Propiedades de la unión e intersección
  5. Cardinal de la unión de tres conjuntos
  6. Partes de un conjunto, complementario y diferencia
  7. Relaciones de inclusión y pertenencia
  8. Propiedades del complementario
  9. Simplificaciones en las partes de un conjunto
  10. Diagramas de Venn
  11. Producto cartesiano
  12. Unión e intersección generalizadas
  13. Función característica
  14. Diferencia simétrica: propiedad asociativa
  15. Partes de uniones e intersecciones
  16. Cardinales de las sigma-álgebras contables
  17. Límite de una sucesión de conjuntos
  18. Cardinal de la unión de $n$ conjuntos
  19. Relaciones
  20. Concepto de relación binaria
  21. Relación de equivalencia, conjunto cociente
  22. Partición de un conjunto
  23. Concepto de relación de orden
  24. Máximo, mínimo, cotas
  25. Supremo, ínfimo, maximales y minimales
  26. Orden total, buen orden
  27. Diagramas de Hasse
  28. Relación de equivalencia en $\mathbb{R}[x]$
  29. Tres relaciones en $\mathbb{N}$
  30. Finura de las relaciones de orden
  31. Funciones
  32. Concepto de función
  33. Composición de funciones
  34. Aplicaciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas
  35. Aplicación identidad, aplicación inversa
  36. Imágenes directas e inversas de conjuntos
  37. Biyección entre $(-1,1)$ y $\mathbb{R}$
  38. Aplicación involutiva
  39. Factorización canónica de la función seno
  40. Estudio de la biyectividad de $f(X)=(A\cap X,B\cap X)$
  41. Cardinales infinitos no regulares
  42. Grupos
  43. Concepto de grupo
  44. Primeras propiedades de los grupos
  45. Subgrupos
  46. Tabla de Cayley
  47. Generadores de un grupo, grupo cíclico
  48. Subgrupos normales
  49. Subgrupo normal y centro
  50. Grupo cociente
  51. Grupo de clases residuales
  52. Homomorfismos de grupos
  53. Núcleo e imagen de un homomorfismo de grupos
  54. Clasificación de homomorfismos de grupos
  55. Descomposición canónica de un homomorfismo de grupos
  56. Grupo de las partes con la diferencia simétrica
  57. Tres igualdades en un grupo.
  58. Grupo no cíclico
  59. Grupo de funciones matriciales
  60. Conjunto, grupo y aplicación
  61. Relación y operaciones en el plano
  62. Grupo de aplicaciones afines.
  63. Centro de un grupo de matrices
  64. Grupo construido por biyección
  65. Conmutador y subgrupo derivado
  66. Todo grupo de orden 4 es abeliano
  67. Grupo de Klein y sus automorfismos
  68. Los grupos $\mathbb{R}^\times$ y $\mathbb{C}^\times$ no son isomorfos
  69. Todo grupo de orden primo es cíclico
  70. Grupos de orden 4
  71. Grupos de orden 6
  72. Anillos y cuerpos
  73. Concepto de anillo
  74. Anillo de sucesiones
  75. Producto directo de anillos
  76. Anillos: notaciones y propiedades
  77. Grupo multiplicativo de las unidades
  78. Anillo de los enteros de Gauss
  79. Anillo de clases residuales
  80. Anillos de integridad
  81. Subanillos
  82. Homomorfismos de anillos
  83. Ideales de un anillo
  84. Ideal de las sucesiones nulas
  85. Ideal bilátero f (I).
  86. Anillo cociente
  87. Descomposición canónica de un homomorfismo de anillos
  88. Concepto de cuerpo
  89. Cuerpos $\mathbb{Z}_p$
  90. Característica de un cuerpo
  91. Homomorfismos entre cuerpos
  92. Anillo según parámetro
  93. Anillo y grupo de matrices
  94. Máximo común divisor en los enteros de Gauss
  95. Dominio de integridad no euclídeo
  96. Una unidad en el anillo cociente $\mathbb{Q}[X] / I$
  97. Binomio de Newton en un anillo
  98. Anillo de las funciones reales
  99. Anillo idempotente
  100. Intersección de subcuerpos
  101. Cuerpo infinito con característica finita
  102. Cuerpo conmutativo con función sobre $\mathbb{R}^+$
  103. Cuaternios de Hamilton
  104. Cuerpo con 25 elementos (vídeo)
  105. Los grupos aditivo y multiplicativo de un cuerpo no son isomorfos
  106. Ideal maximal en el anillo de las funciones de clase infinito
  107. Semianillo tropical
  108. Unidades en el anillo de las series formales $A[[X]]$
  109. Caracterización de anillos noetherianos
  110. El anillo de las funciones continuas no es noetheriano
  111. Ideal generado por un subconjunto de un anillo
  112. $R$ dominio de integridad y no cuerpo, implica $R[x]$ no es dominio de ideales principales
  113. Cardinal de un cuerpo finito
  114. Cuerpo $\mathbb{Q}(\sqrt{5},i)$
  115. Los complejos no pueden ser un cuerpo ordenado
  116. $\langle 2, x \rangle$ no es ideal principal en $\mathbb{Z}[x]$
  117. Caracterizaciones de cuerpos
  118. Inverso de un elemento en $\mathbb{Q}/\langle x^2+x+1 \rangle $
  119. Cuerpo primo
  120. Un cuerpo de matrices isomorfo al de los complejos
  121. Anillos $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$
  122. Sistemas lineales
  123. Sistemas lineales escalonados
  124. Reducción gaussiana
  125. Sistemas lineales según parámetros
  126. Sistemas lineales, método de Gauss: problemas diversos
  127. Matrices
  128. Concepto de matriz, suma de matrices
  129. Grupo aditivo de las matrices sobre un cuerpo
  130. Producto de un escalar por una matriz
  131. Multiplicación de matrices
  132. Inversa de una matriz
  133. Inversa de orden n por el método de Gauss
  134. Inversa de orden n por sistema de columnas
  135. Ecuaciones y sistemas matriciales
  136. Transposición de matrices
  137. Descomposición $A=uv^t$
  138. Matriz nilpotente e inversa
  139. Potencia enésima de matrices por binomio de Newton
  140. Traza de una matriz, propiedades
  141. Matrices mágicas
  142. Matriz de Markov
  143. Inversa generalizada
  144. Matrices cuadradas invertibles con coeficientes enteros
  145. Determinantes
  146. Determinantes sencillos
  147. Determinantes por triangularización
  148. Determinantes por inducción
  149. Determinante de Vandermonde
  150. Regla de Cramer
  151. Ceros por encima o debajo de la diagonal secundaria
  152. Determinante y sucesión de Fibonacci
  153. Determinante con números combinatorios
  154. Producto de enteros que son suma de cuatro cuadrados de enteros
  155. Determinante e inversa de orden n
  156. Determinante de $I + v w$
  157. Determinante por inducción y sistema lineal
  158. Derivada de un determinante
  159. Igualdad de matrices a partir de una de determinantes
  160. Espacios vectoriales
  161. Primeras propiedades de los espacios vectoriales
  162. Espacio vectorial $\mathbb{K}^n$
  163. Espacio vectorial de las matrices sobre un cuerpo
  164. Espacio vectorial $\mathbb{K}[x]$
  165. Espacio vectorial de las funciones reales
  166. Subcuerpo como espacio vectorial
  167. Subespacios vectoriales, caracterización
  168. Suma e intersección de subespacios
  169. Suma directa de subespacios
  170. Combinación lineal de vectores
  171. Dependencia e independencia lineal de vectores
  172. Base de un espacio vectorial
  173. Subespacio de las matrices diagonales, dimensión y base
  174. Subespacio de las matrices escalares, dimensión y base
  175. Subespacio de las matrices simétricas, dimensión y base
  176. Subespacio de las matrices antisimétricas, dimensión y base
  177. Subespacios de matrices triangulares, dimensión y base
  178. Rango de una matriz. Dependencia lineal en $\mathbb {K}^n$
  179. Acotación del rango del producto de dos matrices
  180. Teorema de la base incompleta
  181. Existencia de base en todo espacio vectorial
  182. Dimensión de un espacio vectorial
  183. Teorema de la torre
  184. Propiedades de la dimensión
  185. Teorema de la dimensión para espacios vectoriales
  186. Teorema de Grassmann
  187. Coordenadas
  188. Cambio de base
  189. Ecuaciones de los subespacios
  190. Bases de la suma e intersección de subespacios
  191. Espacio vectorial cociente
  192. Cambio de base en orbitales atómicos
  193. Intersección de subespacios de $(\mathbb{Z}_7)^4$
  194. Espacio vectorial de las funciones definidas en un conjunto
  195. Realificación de un espacio vectorial complejo
  196. Subespacios transversales
  197. Wronskiano
  198. Un espacio vectorial no usual
  199. Aplicaciones lineales
  200. Concepto de aplicación lineal
  201. Núcleo e imagen de una aplicación lineal
  202. Teorema de las dimensiones para aplicaciones lineales
  203. Matriz de una aplicación lineal
  204. Expresión matricial de una aplicación lineal
  205. Núcleo e imagen del operador derivación
  206. Clasificación de aplicaciones lineales
  207. El espacio vectorial de las aplicaciones lineales
  208. Composición de aplicaciones lineales
  209. Descomposición canónica de una aplicación lineal, teorema de isomorfía
  210. Cambio de base en aplicaciones lineales, matrices equivalentes
  211. Cambio de base en endomorfismos, matrices semejantes
  212. Anillo de los endomorfismos y grupo lineal
  213. Espacio dual, base dual
  214. Cambio de base en el espacio dual
  215. Subespacio conjugado o anulador
  216. Aplicación transpuesta
  217. Matrices de aplicaciones lineales
  218. Un endomorfismo nilpotente
  219. Hiperplanos
  220. Endomorfismo y suma $S_4=1^4+…+n^4.$
  221. Sucesiones exactas
  222. Endomorfismo en un subespacio de C(R)
  223. Un operador traspuesto en el espacio dual
  224. Interpolación en el espacio dual
  225. Clasificación de una familia de endomorfismos
  226. Dos aplicaciones lineales
  227. Endomorfismo en $\mathbb{C}$ sobre $\mathbb{R}$
  228. Espacio vectorial de las matrices circulantes
  229. Valores y vectores propios
  230. Concepto de valor y vector propio
  231. Primeras propiedades de los valores y vectores propios
  232. Cálculo de valores y vectores propios. Polinomio característico
  233. Endomorfismos diagonalizables
  234. Potencia enésima de una matriz por diagonalización
  235. Teorema de Cayley-Hamilton
  236. Diagonalización según parámetros
  237. Suma y producto de valores propios
  238. Valores propios del endomorfismo inverso
  239. Diagonalización de un endomorfismo en $M_2(\mathbb{R})$
  240. Diagonalización de un endomorfismo en $\mathbb{R}_2[x]$
  241. Valores propios de una matriz nilpotente
  242. Logaritmo de una matriz
  243. Un determinante por recurrencia
  244. Diagonalización en un espacio complejo
  245. Límite de una sucesión matricial
  246. Modelo de poblaciones
  247. Endomorfismo con modelo matemático
  248. Endomorfismo idempotente
  249. Límite de sucesión de puntos diagonalizando en $\mathbb{C}.$
  250. Diagonalización de involuciones
  251. Valor propio y asíntota horizontal
  252. Coseno de una matriz
  253. Matrices componentes
  254. Secante de una matriz (vídeo)
  255. Espacio vectorial como suma directa de dos núcleos
  256. Valores propios y determinante de una matriz circulante
  257. Matrices idempotentes de orden 2 sobre un cuerpo
  258. Formas canónicas de Jordan
  259. Subespacios invariantes
  260. Bloque de Jordan
  261. Polinomio mínimo
  262. Forma canónica de Jordan
  263. Cálculo de una base de Jordan
  264. Potencia enésima por forma de Jordan
  265. Formas de Jordan de $AB$ y $BA$
  266. Forma canónica del operador derivación
  267. Número e y exponencial de una matriz
  268. Formas de Jordan de rango 1
  269. Espacio de funciones y forma de Jordan
  270. Matrices con cuadrado nulo
  271. Diagonalización de $A\in\mathbb{R}^{2\times 2}$ con funciones hiperbólicas
  272. $A$ y $B$ matrices reales y semejantes como complejas, lo son como reales
  273. Formas bilineales y cuadráticas
  274. Concepto de forma bilineal
  275. Espacio vectorial de las formas bilineales
  276. Matriz de una forma bilineal
  277. Formas bilineales simétricas y antisimétricas
  278. Suma directa de las formas bilineales simétricas y antisimétricas
  279. Formas bilineales: cambio de base
  280. Diagonalización de formas bilineales simétricas
  281. Concepto de forma cuadrática
  282. Forma polar de una forma cuadrática
  283. Diagonalización de formas cuadráticas por transformaciones elementales
  284. Diagonalización de formas cuadráticas: método de Gauss
  285. Ley de inercia de Sylvester
  286. Clasificación de formas cuadráticas
  287. Forma cuadrática mediante una integral
  288. Mínimo de una función cuadrática
  289. Funciones convexas y formas cuadráticas
  290. Núcleo de una forma cuadrática
  291. Forma cuadrática multiplicativa
  292. Semejanza, congruencia y equivalencia de dos matrices
  293. Forma bilineal y sistema diferencial
  294. Cociente de Rayleigh
  295. Principio de Rayleigh (vìdeo)
  296. Forma bilineal a partir de una suma directa
  297. Concepto de producto tensorial
  298. Concepto de aplicación multilineal
  299. Espacio vectorial de las aplicaciones multilineales
  300. Problema de la aplicación universal
  301. Espacio vectorial producto
  302. Suma directa externa de espacios
  303. Producto tensorial
  304. Producto escalar
  305. Producto escalar real
  306. Espacio euclídeo, norma
  307. Desigualdad de Schwartz, ángulos
  308. Ortogonalidad en el espacio euclídeo
  309. Bases ortonormales, método de Schmidt
  310. Subespacio ortogonal
  311. Proyección ortogonal
  312. Mínima distancia de un vector a un subespacio
  313. Matrices ortogonales
  314. Operador traspuesto
  315. Operador ortogonal
  316. Operador simétrico, teorema espectral
  317. Giros alrededor de una recta
  318. Matriz adjunta
  319. Matrices hermíticas
  320. Concepto de forma sesquilineal
  321. Expresión matricial de una forma sesquilineal
  322. Concepto de forma hermítica o hermitiana
  323. Concepto de producto escalar complejo, espacio unitario
  324. Expresión matricial del producto escalar complejo
  325. Matrices unitarias
  326. Descomposición en valores singulares
  327. Matrices normales
  328. Matrices de proyección y simetría
  329. Lema de Schur
  330. Simetría de Householder
  331. Gram-Schmidt con integral impropia
  332. Proyección ortogonal en $\mathbb{R}_2[x]$
  333. Signatura de una forma cuadrática en un espacio euclídeo
  334. Un endomorfismo antisimétrico
  335. Un endomorfismo simétrico
  336. Automorfismo en un espacio euclídeo
  337. Endomorfismo, forma cuadrática y cono
  338. Subespacio ortogonal al de las matrices diagonales
  339. Diagonalización simultánea. Sistema diferencial de segundo orden
  340. $Q(A) = (\text{traza } A)^2 – 2 \det A$
  341. Una matriz normal
  342. Inversa de $A\in\mathbb{R}^{3\times 3}$ e interpretación geométrica
  343. Mínimo de $L(f)=\int_a^bf(x)\;dx\cdot\int_a^b \frac{dx}{f(x)}$ mediante la desigualdad de Schwarz
  344. Polinomios de Legendre y operador simétrico
  345. Un operador autoadjunto y unitario
  346. Operador de Sturm-Liouville
  347. Isometrías en $\mathbb{R}^n$
  348. Álgebra de los números complejos
  349. Cuerpo de los números complejos
  350. Operaciones con números complejos
  351. Raíz cuadrada de un número complejo
  352. Forma trigonométrica de los números complejos
  353. Números complejos: problemas diversos (1)
  354. Números complejos: problemas diversos (2)
  355. Afijos formando un triángulo rectángulo isósceles
  356. Isometrías en el plano
  357. Polinomios
  358. División euclídea de polinomios
  359. Factorización de polinomios
  360. Fórmulas de Cardano-Vieta
  361. Raíces en progresión
  362. Raíces múltiples de polinomios
  363. Raíz cuádruple según parámetros
  364. Polinomio de interpolación de Lagrange
  365. Ecuación de tercer grado
  366. Ecuación de cuarto grado
  367. Polinomios en una variable: problemas diversos
  368. Descomposición de un polinomio en suma de productos de raíces
  369. Seno de $72^{\text{o}}$
  370. Familia de polinomios $p(x^2)=p(x)p(x+1)$
  371. Cotas de las raíces de un polinomio
  372. Raíces de $f(x)=x^3+\beta x^2-\overline{\beta}x-1$
  373. Polinomio de $\mathbb{Z}[x]$ con raíz $\alpha=2+\sqrt[3]{3}$
  374. Lema de Gauss
  375. Criterio de Eisenstein
  376. Polinomio de Motzkin
  377. Factorización en $\mathbb{C} [x]$ de $p(x)=(x+1)^n+(x-1)^n$
  378. Condiciones suficientes para que un polinomio sea irreducible en $\mathbb{K}[x]$
  379. Cónicas
  380. Clasificación de cónicas
  381. Rectas que componen las cónicas degeneradas
  382. Ecuaciones reducidas de las cónicas
  383. Centro y ejes de las cónicas
  384. Giros y traslaciones en las cónicas
  385. Familia uniparamétrica de cónicas
  386. Circunferencia, cónica y forma cuadrática
  387. Ejes de una cónica por diagonalización simultanea
  388. Superficies
  389. Superficies regladas
  390. Superficies de revolución
  391. Superficie de revolución y cónica
  392. Superficies de traslación
  393. Una cuádrica como lugar geométrico
  394. Cuádrica, giro y traslación
  395. Una curva plana
  396. Superficies: problemas diversos
  397. Generatrices rectilíneas de un hiperboloide de una hoja
  398. Programación lineal
  399. Método del simplex
  400. Máximo de una integral por el método del simplex.
  401. Método del simplex. Aplicación
  402. Método del simplex: aprovechamiento de un monte